基于IEEE 754的浮點數存儲格式分析研究

0引言

IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，電子電氣工程師協會）在I985年制定的IEEE 754（IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, ANSI/IEEE Std 754-1985 ）二進制浮點運算規范，是浮點運算部件事實上的工業標準。許多計算機用戶有機會在Intel x86和SPARC 或Power PC機之間交換二進制數據，所以對照Intel x86和SPARC結構計算機的數據表示及相關程序設計語言，討論IEEE 754浮點數存儲格式的細節是有意義的。

本文對浮點數、IEEE 754浮點數的表示方法、規格化處理等進行了分析，重點分析、比較了Intel x86和SPARC結構計算機IEEE 754浮點數的存儲格式。

1 浮點數

在計算機系統的發展過程中，曾經提出過多種方法表示實數，但是到目前為止使用最廣泛的是浮點表示法。相對于定點數而言，浮點數利用指數使小數點的位置可以根據需要而上下浮動，從而可以靈活地表達更大范圍的實數。

浮點數表示法利用科學計數法來表達實數。通常，將浮點數表示為 ± d.dd…d ×βe，其中d.dd… d 稱為有效數字（significand），它具有 p 個數字（稱p位有效數字精度），β為基數（Base），e為指數（Exponent），±表示實數的正負[1,2]。更精確地，± d0.d１d２…dp－1 × βe， 表示以下數

±（d0＋d1β－1＋… ＋dp－1β－（p－1））βe，（0≤di＜β）。

對實數的浮點表示僅作如上的規定是不夠的，因為同一實數的浮點表示還不是唯一的。例如，1.0×102 ，0.1 ×103 ，和0.01 ×104 都可以表示100.0。為了達到表示單一性的目的，有必要對其作進一步的規范。規定有效數字的最高位(即前導有效位)必須非零，即0＜d0＜β。符合該標準的數稱為規格化數（Normalized Numbers），否則稱為非規格化數(Denormalized Numbers)。

2 IEEE 754浮點數與其浮點格式 2.1 實數的IEEE 754表示形式

一個實數V在IEEE 754標準中可以用V＝(－1)s×M×2E 的形式表示[3,4]，說明如下：

(1)符號s(sign)決定實數是正數(s＝0)還是負數(s＝1)，對數值0的符號位特殊處理。

(2)有效數字M（significand）是二進制小數，M的取值范圍在1≤M＜2或0≤M＜1。

(3)指數E（exponent）是2的冪，它的作用是對浮點數加權。

2.2 浮點格式

浮點格式是一種數據結構，它規定了構成浮點數的各個字段，這些字段的布局，及其算術解釋[2]。IEEE 754浮點數的數據位被劃分為3個字段，對以上參數值進行編碼：

(1)一個單獨的符號位s直接編碼符號s。

(2)k位的偏置指數e（e＝ek－1…e1e0）編碼指數E，移碼表示。

(3)n位的小數f(fraction)（f＝fn－1…f1f0）編碼有效數字M，原碼表示。

2.3 浮點數的分類

根據偏置指數e的值，被編碼的浮點數可分成三種類型。

(1)規格化數

當有效數字M在范圍1≤M＜2中且指數e的位模式ek－1…e1e0既不全是0也不全是1時，浮點格式所表示的數都屬于規格化數。這種情況中小數f（0≤f＜1 ) 的二進制表示為0. fn－1…f1f0。有效數字M＝1＋f，即M＝1. fn－1…f1f0 (其中小數點左側的數值位稱為前導有效位) 。我們總是能調整指數E，使得有效數字M在范圍1≤M＜2中，這樣有效數字的前導有效位總是1，因此該位不需顯示表示出來，只需通過指數隱式給出。

需要特別指出的是指數E要加上一個偏置值Bias，轉換成無符號的偏置指數e，也就是說指數E要以移碼的形式在存放計算機中。且e、E和Bias三者的對應關系為e=E＋Bias，其中Bias=2k－1－1。

(2)非規格化數

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為零（即e＝0）時，浮點格式所表示的數是非規格化數。這種情況下，E=1－Bais，有效數字M=f=0. fn－1…f1f0 ，有效數字的前導有效位為0。

非規格化數的引入有兩個目的。其一是它提供了一種表示數值0的方法，其二是它可用來表示那些非常接近于0.0的數。

(3)特殊數

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為1時，小數f的位模式fn－1…f1f0全為0（即f=0）時，該浮點格式所表示的值表示無窮，s=0 時是＋∞，s=1時是－∞。

當指數e的位模式ek－1…e1e0全為1時，小數f的位模式fn－1…f1f0不為0（fn－1、…、f1、f0、至少有一個非零即f≠0）時，該浮點格式所表示的值被稱為NaN（Not a Number）。比如當計算 或∞－∞時用作返回值，或者用于表示未初始化的數據。

3 IEEE 754浮點存儲格式

與浮點格式對應，浮點存儲格式規定了浮點格式在存儲器中如何存放。IEEE標準定義了這些浮點存儲格式，但具體選擇哪種存儲格式由實現工具（程序設計語言）決定。

匯編語言軟件有時取決于所使用的存儲格式，但更高級的語言通常僅處理浮點數據類型的語言概念。這些浮點數據類型在不同高級語言中有不同的名字，相應的IEEE格式如表1。

表1 IEEE 格式和語言類型

IEEE 754標準準確地定義了單精度和雙精度浮點格式，并為這兩種基本格式的分別定義了擴展格式，表1里擴展雙精度格式是IEEE標準定義的擴展雙精度類中的一種。

下面詳細討論在Intel x86和SPARC平臺上使用的三種IEEE浮點存儲格式。

3.1 單精度格式

IEEE單精度浮點格式共32位，包含三個構成字段：23位小數f，8位偏置指數e，1位符號s。將這些字段連續存放在一個32位字里，并對其進行編碼。其中0:22位包含23位的小數f； 23:30位包含8位指數e；第31位包含符號s。如圖1所示。

圖1 單精度存儲格式