卷積編碼及Viterbi 解碼的FPGA 實現及應用

0 引言

在現代通信系統中，信道編碼技術得到了廣泛的應用。卷積碼結構簡單，硬件實現容易，同時有著較好的查錯糾錯能力，因此在無線通信中經常使用，而其解碼方式常用Viterbi譯碼。

1 卷積編碼

卷積碼(Convolutional Coding)是由PgElias 于20 世紀50年代提出的一種非分組碼。它實現非常簡單，將要發送的信息序列經過一個特定的線性移位寄存器，即完成了編碼。

卷積編碼常用(n,k,m) 表示，一般n 和k 的值都比較小，其中m 為編碼約束長度，它表示編碼時相應的信息比特在編碼器中停留的時間。卷積編碼是一種前后相關聯的編碼過程，編碼后的碼元和當前的k 個比特位相關，同時也與前m - 1 個輸入比特相關，使得相互關聯的碼元達到m × n 個。衡量卷積碼性能的兩個重要參數是碼率 (k n)和約束長度。

2 卷積碼的描述方法

卷積碼的編碼描述方法有很多，工程中最常用的是寄存器網絡結構法、碼多項式法和狀態圖形表示法。

如本系統中使用的(2,1,7)卷積編碼，它的寄存器網絡結構法表示如圖1所示。

離散卷積法表示如下：

其中卷積運算用*表示， g1,g2 為脈沖沖激響應。則如圖1中可以表示為：

3 卷積碼的譯碼

由于卷積碼自身沒有嚴格的代數結構，其譯碼過程相對復雜。目前常用的方法有兩類：

(1)代數解碼。這種解碼方式是利用編碼本身的代數結構進行解碼，但不考慮信道的統計特性;(2)概率解碼。這一解碼方式則充分利用了信道的統計特性。目前常用的有Viterbi譯碼、最大后驗概率譯碼(MAP)以及它的改進算法Max_log_MAP等。本文采用的是Viterbi譯碼簡稱(VB)。

對于(n,k,m) 的二進制卷積碼，編碼輸入的信息序列是獨立等概率的，比較各種條件下的概率，即似然函數P(R|U(m))，選擇其中概率最大的，所得就是譯碼值，它具有最小差錯概率。其中R 是實際接收到的序列，U(m) 是可能的發送序列。當滿足P(R|U(m′)) =max P(R|U(m)) 條件時，U(m′) 就是譯碼值。

假設加性高斯白噪聲作為系統噪聲，同時信道是無記憶性，則卷積碼的似然函數為：

式中：Ri 是接收序列R 的第i 個分支;Ui (m) 是特定碼字U(m) 的第i 個分支;rji 是Ri 的第j 個碼元;uji (m) 是Ui (m) 的第j 個碼元，每個分支由n 個碼元組成。在工程實踐中通常用對最大似然函數取對數，以加法代替乘法。對數的最大似然函數定義為：

當log P(R|U(m)) 的值最大時，譯碼成功。Viterbi譯碼利用了編碼網絡圖的特殊結構，降低了計算的復雜度，但它本質上仍然是最大似然譯碼。算法實際執行時，邊接收邊比較，同時去除不可能成為最大似然選擇對象的路徑，也就是說如果兩條路徑到達同一狀態，被選中的是具有最佳量度的路徑。這一路徑稱為幸存路徑，對所有狀態進行比較、選擇，拋棄不可能的路徑，從而降低了譯碼器的復雜性。譯碼從根本上說，也就是選擇具有最小距離的碼字或最大似然量度的碼字。

4 卷積碼編碼的工程實現

卷積碼的編碼在工程中比較簡單，由移位寄存器和異或組成，系統中使用(2,1,7)編碼，實現原理如圖2所示。在FPGA中的仿真如圖3所示。

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