圖像處理中的數學原理詳解17——卷積定理及其證明

　　1.4.5 卷積定理及其證明

　　卷積定理是傅立葉變換滿足的一個重要性質。卷積定理指出，函數卷積的傅立葉變換是函數傅立葉變換的乘積。換言之，一個域中的卷積對應于另一個域中的乘積，例如，時域中的卷積對應于頻域中的乘積。

　　這一定理對拉普拉斯變換、Z變換等各種傅立葉變換的變體同樣成立。需要注意的是，以上寫法只對特定形式的變換正確，因為變換可能由其它方式正規化，從而使得上面的關系式中出現其它的常數因子。

　　下面我們來證明時域卷積定理，頻域卷積定理的證明與此類似，讀者可以自行證明。

　　證明：將卷積的定義

　　傅立葉變換的作用在頻域對信號進行分析，我們可以把時域的信號看做是若干正弦波的線性疊加，傅立葉變換的作用正是求得這些信號的幅值和相位。既然固定的時域信號是若干固定正弦信號的疊加，在不改變幅值的情況下，在時間軸上移動信號，也就相當于同時移動若干正弦信號，這些正弦信號的相位改變、但幅值不變，反映在頻域上就是傅立葉變換結果的模不變、而相位改變。所以，時移性質其實就表明當一個信號沿時間軸平移后，各頻率成份的大小不發生改變，但相位發生變化。

　　既然這里提到了傅立葉變換的性質，這里我們還將補充一些關于帕塞瓦爾定理的有關內容。該定理最早是由法國數學家帕塞瓦爾(Marc-Antoine Parseval)在1799年推導出的一個關于級數的理論，該定理隨后被應用于傅立葉級數。帕塞瓦爾定理的表述是這樣的：

　　綜上所述，原結論得證。

　　前面我們也介紹過復數形式的傅立葉級數，下面我們來推導與復數形式傅立葉變換相對應的帕塞瓦爾等式。這里再次給出傅立葉級數的復數形式表達式，具體推導過程請讀者參閱前文

　　帕塞瓦爾定理把一個信號的能量或功率的計算和頻譜函數或頻譜聯系起來了，它表明一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量(功率)之和。換言之，能量信號的總能量等于各個頻率分量單獨貢獻出來的能量的連續和;而周期性功率信號的平均功率等于各個頻率分量單獨貢獻出來的功率之和。