有趣的線性反饋移位寄存器(LFSR)

最近一直在研究信道編碼，發現在信道編碼里面有一個電路比較重要也比較有趣，那就是線性反饋移位寄存器 LFSR ，相信大家對 LFSR 電路也不陌生了，在通信領域lfsr有著很廣泛的應用，比如說M序列，擾碼，信道編碼，密碼學這方面都有很廣泛的應用，LFRS的結構一般如下圖：

其中他需要一個生成多項式為：

這個多項式是一個本原多項式，然后知道這個電路有一些有意思的性質，下面我以m = 3 來做個例子具體的電路圖如下所示：

假設開始的時候(D2，D1，D0 ) = (0，0，1)，那么每過一個時鐘周期會進行跳變一次，

可以看到具體的跳變如下所示：

然后我們可以看到這個計數器循環起來了，很好玩吧，無論進入那樣一個狀態除了0之外，都可以循環著回來，其實這里就相當于了一個3bit的偽隨機數，很有意思，不是所有的多項式都有這個特性，我們現在在從數學上面來看看這個問題，其實最上面的電路是可以看成是一個除法電路，在Galois域的一個除法電路。現在假設的是R(x)是寄存器中剩余的數據，M(x)是輸入的碼字多項式，然后數學公式可以表示成：

然后我分別計算出了M(x)的各種情況，

然后我們單獨進行一下7次方的運算

發現7次方的運算和0次的時候的余數是一樣的

然后我們發現其實在上面的電路中對多項式的除法也是可以循環起來的，可以驗證的是

把這個記成

上面的式子是可以循環的，然后我又想到了CRC的計算，CRC的計算也可以通過一個除法電路來實現，

假設碼子多項式為

生成多項式為

那么CRC的碼字為

這樣我們同樣可以用LFSR電路來進行實現

首先對M(x)乘以一個x的r次方，然后去去除G(x)，在電路上的表現就是

所以在輸入碼字以后還需要多輸入r拍的0這樣才能使最后的CRC碼字數據。

同理這個電路也可以進行CRC校驗，把生成的數據全部都依次輸入進這個。