多級低通有源濾波器的設計考慮因素

　　這明顯比設計 1 的效果差。雖然這是個有些極端的例子，但這也確實說明了用最后一級增益來降低級間削波風險的重要意義。

　　多級濾波器 Q 值排序對噪聲增益峰值的考慮

　　對曾經測量過 SKF 濾波器輸出噪聲頻譜的人來說，都會有些驚訝地發現噪音峰值有多么高。SKF 濾波器的一項最不為人注意的特性是其高峰值噪聲增益在某種程度上可以通過認真選擇電阻值來減輕。

　　運算放大器線路的“噪聲增益”指輸出電壓的分壓比與差分輸入電壓比值的倒數。這也給出了運算放大器自身的輸入噪聲電壓到輸出端的增益的頻率響應。同樣它還是運算放大器開環增益與該噪聲增益的比，即 SKF 濾波器內部通帶頻率上的環路增益。這是極為有用的因子，它說明環路增益越大，諧波失真越低。因此，出于多種原因考慮，應了解并盡力降低 SKF 的噪聲增益峰值。

　　等式 3 所示的是圖 1 二階低通 SKF 濾波器的噪聲增益拉普拉斯傳遞函數的基本形式。分子是一個二次多項式，實數零點分布在較寬的范圍內(一個小于 ω0，一個大于 ω0)，而分母的極點是濾波器需要的極點。這個分母的表達式實際上是導入增益元件前的無源2 R和2 C電路的極點等式(將圖 1 中的放大器從電路中去除，讓 C2 接地，就可以得到 C2 之上的從輸入到輸出端的傳遞函數，而這個表達式的極點就是 SKF 噪聲增益表達式的分母)。

　　等式 3 噪聲增益

　　分母等式與所需的濾波器響應一致。如果我們在分母的線性系數中用 Ko/R2C2 項來做替代，然后按濾波器指標項重寫等式，我們會發現實際上我們在噪聲增益響應方面沒有多少裕量。

　　等式4 濾波器指標項的噪聲增益

　　除 1/R2C2 極點外，該等式中的每一項都已經被所需的濾波器形態、DC 增益以及 Ko 決定了。這種現象在某種程度上可以用來降低噪聲增益峰值，但噪聲增益峰值主要還是受控于所需的濾波器 Q 值。簡單地說，最好讓 SKF 濾波器的 R1/R2 值大致處于 0.15 至 0.7 之間。使該比例盡量接近 0 從數學上來說是準確無誤的，這樣可以減少噪聲增益峰值，但 R1 為 0 又會帶來其它問題。

　　所以噪聲增益在頻率范圍內始于 Ko，終于 Ko。在 ω0 附近，由于極點等式反映的所需的濾波器形態(Q >.707 會在所需的頻率響應內形成峰值)和低于 ω0 時形成的零點造成的峰值，因此會有較大峰值出現。一個顯然的問題是運算放大器環路內的噪聲增益峰值是否會影響穩定。在峰值位于放大器開環響應范圍內的時候會影響穩定。不過，即便在圖 1 和圖 2 所示的極低帶寬裕量條件下，噪聲增益曲線與開環增益的交點也會遠高于下面所示的峰值。但是這個問題說明了不要采用太大的放大器帶寬與 Fo 乘數。理論上講，可以使用幾乎任何放大器帶寬，通過迭代，得到所需濾波器形態要求的電阻值和電容值。不過讓放大器帶寬與 Fo 的比值過大就會引起局部環路穩定問題。

　　圖 9 所舉示例顯示的是設計 1 第一級的噪聲增益幅度。它采用參考資料 1 的設計算法，首先控制 R1+R2 的值使加在運算放大器自身的噪聲近乎可以忽略，然后在上面建議的范圍內設置 R1/R2 比例。

　　圖 9. 設計 1 第一級的噪聲增益幅度

　　這里的初始增益是 1.5V/V，最終的噪聲增益是 3.56dB。在 414KHz 的 Fo 頻率附近，我們發現了峰值驚人，增益增加了近 11.4dB，高達 15dB，是濾波器所需增益的 3.7 倍。這一級所需的濾波器形態只體現出了從 3.56dB 的DC 增益到最大 增益8.44dB 的峰值，遠遠低于隱藏于該響應中的噪聲增益峰值。如果該較高 Q 值級還能提供更多濾波器總增益，整個曲線將會上移。這將在后面演示。

　　謹慎起見，應該在該超高噪聲峰值之后安排 Q 值更低、Fo 更低的級。這樣可以過濾這些峰值，實現較低的整體輸出噪聲。

　　圖 10 顯示的是設計 1 濾波器每一級的輸出噪聲。它包含了根據參考資料 1 生成的設計的全部參數、噪聲電壓、噪聲電流以及電阻噪聲。前兩級的輸出有明顯的噪聲峰值，但最終輸出噪聲峰值近乎可以忽略，因為最后一級的 Q 值較小。這里的噪聲峰值在 190KHz 時為 1.76µV/√Hz。

　　圖 10. 設計 1 的輸出噪聲圖

　　讓我們回到設計 2，采用 ISL28113 來完成設計，根據下面的噪聲圖(設計中經設置電阻后會以運算放大器噪聲電壓為主，故該圖主要體現的是運算放大器的電壓噪聲效果)進行輸出噪聲的公平比較。該圖顯示前兩級都出現了明顯的噪聲峰值，但由于最后一級 Fo 和 Q 值相對較低，起到了良好的濾除作用。該圖顯示 200KHz 時噪聲峰值為 1.49µV/√Hz，略低于設計 1。

　　圖 11. 設計 2 的輸出噪聲