使用巧妙的技術將無源音頻濾波器轉換為有源濾波器

該項目涵蓋了兩種引人入勝且有用的電路設計技術——伯頓變換和對偶——使我們能夠在構建音頻噪聲濾波器的同時，將無源網絡轉換為有源網絡。

之前，我介紹了一種“468-4”音頻濾波器的設計，它實現了標準化的噪聲測量，近似于對人們聽音樂和說話的主觀評估。

如該文章所述，有兩種主要方法可以制作有源濾波器，該濾波器提供468-4頻率響應并與現代音頻設備的阻抗水平相匹配：

將6.3kHz左右的傳統低通和高通有源濾波器合并。

使用巧妙的數學技術從無源電路推導出有源電路。

我之前介紹了第一種方法，現在本文將介紹第二種方法。

468-4無源濾波器的獨創設計

作為一個快速復習，圖1的網絡是在20世紀50年代開發的，旨在提供所需的頻率響應，用于阻抗為600?的音頻系統。

用于600Ω電路的468-4濾波器的無源網絡實現

圖1。用于600Ω電路的468-4濾波器的無源網絡實現（點擊放大）。

源和負載電阻器分別顯示在左側和右側，但沒有信號源。這種電路需要在輸出端有一個放大器來補償其顯著的插入損耗。

電感器電阻的影響

規范的頻率響應可能是通過測量受電感器損耗影響的原始網絡來確定的。

該規范要求電感器Q因子在10kHz時超過200，但這不是一個足夠的規范，原因有兩個：

電感器具有串聯電阻和（如果不是空心的）并聯損耗電阻，但我們不知道每個電阻的大小。

并聯損耗與頻率有關，因此無法通過固定電阻器完全建模。

對電感器的研究表明，在最低允許電感器Q為200的情況下，串聯和并聯電阻之間的損耗分布對頻率響應的影響非常小，即使在臨界的6kHz至14kHz范圍內也是如此。對于沒有電阻損耗的理想電感器也是如此。為了使并聯電容產生任何影響，它們必須在納法拉范圍內，當然，它們不是。

電容器變化的影響

說明書還指出，33.06nF電容器的值可能需要調整，以滿足頻率響應的規定公差極限。我已經使用LTspice模擬研究了這些影響。將33.06 nF電容器改變±5%的影響可以忽略不計（微珠！）。

模擬組件變化的影響

在模擬中，我們可以在±5%的公差范圍內改變組件。所有網絡變體的頻率響應如圖2所示，規格限制以黃色突出顯示。

改變分量值對無源網絡468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒有影響

圖2:改變分量值對無源網絡468-4音頻噪聲濾波器的頻率響應幾乎沒有影響（點擊放大）。

如圖2所示，頻率響應作為部件公差的函數變化不大，所有變體都符合規范。

小心插值

然而，您可能會注意到圖2的頻率響應曲線中以11 kHz為中心的奇怪駝峰。在上一篇文章的模擬和測量中也可以看到這種隆起。這看起來像是一個數據錯誤，但數據是正確的。

原因是我在模擬中復制了頻率響應規范中從10 kHz到12.5 kHz的大步。頻率步長模擬中的這一大的8.1dB步長迫使模擬繪圖工具對數據進行插值以繪制曲線。

10kHz和12.5kHz之間的線性插值在11kHz下給出4.63dB的響應，而所有模擬網絡的響應都非常接近5.30dB。如果我們在模擬中添加額外的頻率步長，那么11 kHz的光點幾乎消失了，如圖3所示。

增加額外的頻率步長可以減少插值并消除響應曲線中的駝峰

圖3。添加額外的頻率步長可以減少插值，并消除響應曲線中的駝峰（單擊放大）。

剩余的波峰和波谷是由于頻率響應規范中的舍入效應造成的。因此，最好將構建和測量的濾波器的結果與模擬無源網絡的頻率響應進行比較，這兩種濾波器都具有非常小的舍入誤差。

將被動網絡轉變為主動網絡

眾所周知，您可以通過將所有組件阻抗除以固定比例因子來“縮放”任何RLC網絡。只要源阻抗和負載阻抗包括在計算中，頻率響應就不會改變。

1968年，倫納德·布魯頓證明，如果比例因子是虛的（包括j，負1的平方根），布魯頓變換過程仍然有效。如果我們包括角頻率ω，它的工作效果特別好：

等式1。

解釋

f是以赫茲為單位的頻率。

用虛角頻率縮放電感器

我們將把所有的分量除以比例因子jω。讓我們從檢查阻抗為jωL的電感器的變化開始。

等式2。

不要被L這個詞的使用所欺騙。這個阻抗與頻率無關，這意味著它是一個電阻值為L的電阻器。在我們的電路中用電阻器代替電感器將節省成本！

用虛角頻率縮放電阻器

現在，讓我們看看當我們將電阻器除以比例因子jω時會發生什么。

等式3。

這將使我們的電阻器變為電容值為（1/R）的電容器。您可以將這個值識別為我們原始電阻器的電導G。

用虛角頻率縮放電容器

最后，讓我們把電容器的阻抗除以比例因子jω。

等式4。

這個結果看起來不太有希望。這是一個數學上真實的阻抗（沒有“j”），電壓與電流同相，就像電阻器一樣，但它是負的，并且與頻率有關。

它可以被稱為頻率相關負電阻器（FDNR）或“D元件”這是一個向普通電阻器提供能量的有源元件，因此需要電源。幸運的是，它可以由運算放大器、電阻器和電容器構成。

使用對偶變換電路原理圖

如果我們回到圖1，我們可以看到C3的兩端都沒有接地。當它被轉換為D元件時，這將產生一個真正的問題，因為這需要一個浮動電源。在我們進行伯頓變換之前，我們可以用另一個數學技巧和電路的對偶性質來克服C3問題。

在這個“雙重化”的過程中，我們可以通過進行以下更改來轉換示意圖。

電壓源? 電流源

電感? 電容

反對? 電導

系列? 平行的

電感和電容改變了它們的性質——它們儲存能量的方式以及它們的阻抗如何隨頻率變化。電阻和電導不會改變它們的性質，所以我們可以將它們視為任何一種形式，而不會引入誤差。

組件的數值不會改變，盡管結果可能包括不可行的值（但稍后可以固定）。所得到的示意圖將具有相同的頻率響應。

如果我們將對偶過程應用于圖1的468-4濾波器電路，我們必須包括源和負載電阻器。這些電阻器的電導率從600Ω轉換為600 S（西門子），相當于1.667 m?的電阻器。

在468-4濾波器電路上完成我們的雙重轉換，得到了圖4底部所示的新示意圖。我已經復制了圖4頂部的原始電路，所以您可以更容易地看到對偶變換。

原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無源網絡版本（底部）

圖4。原裝468-4音頻噪聲濾波器（頂部）和雙無源網絡版本（底部）（點擊放大）。

很明顯，以納米亨、毫歐姆和毫法拉為單位的元件值，這是一個非常低阻抗的網絡。不用擔心，我們可以解決這個問題！

使用Bruton變換縮放分量值

現在，我們來談談另一個聰明的地方：使用Bruton變換轉換組件值。我們可以引入一個新的因子來將所有組件值縮放到更方便的值。

我們將首先將1.667 mS的源和負載電導轉換為1 nF的合理電容器大小。如前所述，Bruton變換使用以下方程將電阻器轉換為電容器：

等式5。

現在，讓我們計算一下比例因子：

比例因子

等式6。

不要擔心這是一個非常高的數字；這只是一個比例因子。

將電阻器值除以比例因子，得到電容器值（等效地，將電導值乘以比例因子）。

將電容器值除以比例因子，得到D值。

多個電感值通過比例因子得到電阻值。

圖5是我們在所有電路元件上完成Bruton變換后的電路。

D元素沒有一個標準的單位名稱，但我們只會稱之為bruton，并給它一個符號Br。我們得到的D值是以femtobutons為單位的，但沒關系。我們可以使用可感測的元件值由運算放大器、電阻器和電容器制成。請注意，它們的阻抗只是負電阻器，具有以歐姆為單位的頻率相關值。

用于負電阻的廣義阻抗轉換器

我們將使用通用阻抗轉換器（GIC）創建我們的D元件。對它們如何工作的解釋相當長，而且是數學性的（簡單的數學，但很多）。

GIC示意圖如圖6所示。

通用阻抗轉換器原理圖。

圖6。通用阻抗轉換器原理圖。

GIC端子之間的阻抗Z由以下公式給出：

等式7。

我們需要一個串聯鏈中有兩個電容器和三個電阻器的GIC，如圖7所示。

帶有元件值的最終D元件示意圖

圖7。帶有元件值的最終D元件示意圖（單擊放大）。

我們再次為電容器C1和C2選擇了1nF的方便值。同樣，R1和R2在10kΩ（另一個方便的值）下選擇。

必須計算R3值，以便在圖6的示意圖中給出兩個D元素的正確值，使用：

等式8。

等式9。

我們得到的R3值與R1和R2具有相同的數量級。

用LTspice模擬我們的濾波器設計

我們現在可以使用LTspice來模擬我們的過濾器，以檢查它是否按預期工作。圖8顯示了LTspice示意圖，其中還包括無源濾波器作為參考。

468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖

圖8。468-4音頻噪聲濾波器的LTspice模擬示意圖（點擊放大）。

示意圖顯示了電阻器的精確值，可以由E12±1%公差電阻器的串聯或并聯組合制成。我使用TL07x運算放大器進行此模擬。

這種類型的濾波器實現被聲稱比使用傳統濾波器部分的實現更能容忍組件值。然而，這是一個過于復雜的問題，不能在這里討論。

圖9顯示了模擬的結果。

模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考值和規定公差的偏差

圖9。模擬響應與468-4音頻噪聲濾波器參考和指定公差的偏差（點擊放大）。

顯然，高達10kHz的結果非常好，并且在高達31.5kHz的較低容差內保持，但它確實下降了。這是由于運算放大器的帶寬有限。使用更快的運算放大器（如NE5532）可以獲得更好的結果，但這些運算放大器需要更多的供電電流。

關于電路穩定性的警告

最終，我決定使用LM4562運算放大器進行硬件設計（如下所示）。當使用速度快得多的運算放大器時，由于復雜的閉環配置，存在其中一個GIC變得不穩定的真正風險。

當使用任何Spice或類似的模擬工具時，強烈建議除了運行頻域掃描（Spice中的.AC）外，還運行時域模擬（在Spice中稱為.TRAN）。這個交流頻率模擬無法檢測到振蕩。內部振蕩的一個很好的指標是。TRAN模擬運行非常緩慢。

最終測試：構建468-4音頻噪聲濾波器

關鍵的測試是在現實世界中構建過濾器并測量其性能。圖10顯示了硬件原理圖，它是我之前的寬帶電壓計項目的附加組件。

使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器示意圖

圖10。使用LM4562運算放大器的468-4音頻噪聲濾波器的示意圖（單擊放大）。

此設計包括與先前音頻噪聲濾波器設計中所展示的相同的增益調整電路。然而，該濾波器的增益變化范圍預計較小。

圖11顯示了真實電路的頻率響應與無源電路的模擬響應的比較。偏差只能檢測到，而且只是分貝的一小部分。成功

模擬的無源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應

圖11。模擬的無源和測量的有源音頻噪聲濾波器響應（點擊放大）。

這就是目前所有的過濾器。是時候讓我做一些不同的事情了。