DSP基礎--定點小數運算

        在DSP世界中，由于DSP芯片的限制,經常使用定點小數運算。所謂定點小數，實際上就是用整數來進行小數運算。下面先介紹定點小數的一些理論知識，然后以C語言為例，介紹一下定點小數運算的方法。在TI C5000 DSP系列中使用16比特為最小的儲存單位，所以我們就用16比特的整數來進行定點小數運算。

        先從整數開始，16比特的儲存單位最多可以表示0x0000到0xffff，65536種狀態，如果它表示C語言中的無符號整數的話，就是從0到65535。如果需要表示負數的話，那么最高位就是符號位，而剩下的15位可以表示32768種狀態。這里可以看出，對于計算機或者DSP芯片來說，符號并沒有什么特殊的儲存方式，其實是和數字一起儲存的。為了使得無論是無符號數還是符號數，都可以使用同樣的加法減法規則，符號數中的負數用正數的補碼表示。

        我們都知道-1 + 1 =0，而0x0001表示1，那么-1用什么來表示才能使得-1 + 1 =0呢？答案很簡單：0xffff。現在就可以打開Windows的計算器，用16進制計算一下0xffff+0x0001，結果是0x10000。那么0x10000和0x0000等價麼，我們剛才說過用16比特來表達整數，最高位的1是第17位，這一位是溢出位，在運算寄存器中沒有儲存這一位，所以結果是低16位，也就是0x0000。現在我們知道負數的表達方式了。舉個例子：-100。首先我們需要知道100的16進制，用計算器轉換一下，可以知道是0x0064，那么-100就是0x10000 - 0x0064，用計算器算一下得0xff9c。還有一種簡單的轉換符號的方法，就是取反加一：把數x寫成二進制格式，每位0變1，1變0，最后把結果加1就是-x了。

        好，復習了整數的相關知識之后，我們進入定點小數運算環節。所謂定點小數，就是小數點的位置是固定的。我們是要用整數來表示定點小數，由于小數點的位置是固定的，所以就沒有必要儲存它（如果儲存了小數點的位置，那就是浮點數了）。既然沒有儲存小數點的位置，那么計算機當然就不知道小數點的位置，所以這個小數點的位置是我們寫程序的人自己需要牢記的。

         先以10進制為例。如果我們能夠計算12+34=46的話，當然也就能夠計算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定點小數的加減法和整數的相同，并且和小數點的位置無關。乘法就不同了。 12*34=408，而1.2*3.4=4.08。這里1.2的小數點在第1位之前，而4.08的小數點在第2位之前，小數點發生了移動。所以在做乘法的時候，需要對小數點的位置進行調整？！可是既然我們是做定點小數運算，那就說小數點的位置不能動！！怎么解決這個矛盾呢，那就是舍棄最低位。 也就說1.2*3.4=4.1，這樣我們就得到正確的定點運算的結果了。所以在做定點小數運算的時候不僅需要牢記小數點的位置，還需要記住表達定點小數的有效位數。上面這個例子中，有效位數為2，小數點之后有一位。

       現在進入二進制。我們的定點小數用16位二進制表達，最高位是符號位，那么有效位就是15位。小數點之后可以有0 - 15位。我們把小數點之后有n位叫做Qn，例如小數點之后有12位叫做Q12格式的定點小數，而Q0就是我們所說的整數。

       Q12的正數的最大值是 0 111 . 111111111111，第一個0是符號位，后面的數都是1，那么這個數是十進制的多少呢，很好運算，就是 0x7fff / 2^12 = 7.999755859375。對于Qn格式的定點小數的表達的數值就它的整數值除以2^n。在計算機中還是以整數來運算，我們把它想象成實際所表達的值的時候，進行這個運算。

       反過來把一個實際所要表達的值x轉換Qn型的定點小數的時候，就是x*2^n了。例如 0.2的Q12型定點小數為：0.2*2^12 = 819.2，由于這個數要用整數儲存， 所以是819 即 0x0333。因為舍棄了小數部分，所以0x0333不是精確的0.2，實際上它是819/2^12 =0.199951171875。

我們用數學表達式做一下總結：
x表示實際的數（*一個浮點數）， q表示它的Qn型定點小數（一個整數）。
q = (int) (x * 2^n)
x = (float)q/2^n

由以上公式我們可以很快得出定點小數的+-*/算法：
假設q1，q2，q3表達的值分別為x1，x2，x3
q3 = q1 + q2   若 x3 = x1 + x2
q3 = q1 - q2   若 x3 = x1 - x2
q3 = q1 * q2 / 2^n若 x3 = x1 * x2
q3 = q1 * 2^n / q2若 x3 = x1 / x2
我們看到加減法和一般的整數運算相同，而乘除法的時候，為了使得結果的小數點位不移動，對數值進行了移動。
用c語言來寫定點小數的乘法就是：
short q1,q2,q3;
....
q3=((long q1) * (long q2)) >> n;

由于/ 2^n和* 2^n可以簡單的用移位來計算，所以定點小數的運算比浮點小數要快得多。下面我們用一個例子來驗證一下上面的公式：
用Q12來計算2.1 * 2.2，先把2.1 2.2轉換為Q12定點小數：
2.1 * 2^12 = 8601.6 = 8602
2.2 * 2^12 = 9011.2 = 9011
(8602 * 9011) >> 12 = 18923
18923的實際值是18923/2^12 = 4.619873046875 和實際的結果 4.62相差0.000126953125，對于一般的計算已經足夠精確了