設計開關電源轉換器中電容陣列的數學方法

圖4為輸出電容器的等效電路。

圖4

在圖4中，C是等效純電容，R(SUB/)esr(/SUB)是等效串聯電阻。當輸出電容器在加載過程中放電時，輸出等效純電容上的電壓可通過對方程1積分得到：

輸出電容器兩端的總電壓降為ESR兩端的電壓降和等效純電容上的電壓降的和，因而：

方程3是一個二次方程，在局部極點(local pole)處出現極值。局部極點發生在：

在方程4中，最大電壓降發生在t = tlp_d，其值為：

如果tlp_d是負數，那么最大電壓降實際發生在t=0，因為在t>0區間是單調衰減的，因而，最大電壓降為：

類似地，在卸載過程中輸出電容充上了電，通過對方程2進行積分可得到輸出電容器兩端在等效純電容上的電壓提升：

輸出電容兩端的總的電壓提升為ESR兩端的電壓提升和等效純電容上電壓提升的和，因而：

方程6是一個二次方程，在局部極點處出現極值。局部極點發生在：

最大電壓提升發生在t = tlp_r，其值為：

如果tlp_r是負數，那么最大電壓提升實際發生在t=0，因為在t>0區間方程是單調衰減函數，因而，最大電壓提升為：

以圖像處理器單元(GPU)為例，我們使用12V的三芯鋰離子電池，通過降壓轉換器把該電壓轉換到1.5V來為GPU供電。在小功率和大功率模式，GPU的耗流量分別為0.5A和8.5A。保證GPU正常工作的電壓范圍為1.5V +/-75mV。假設降壓轉換器的電感值初選為2.2微亨，解耦電容為330微法并帶有4毫歐的ESR，那么：

V(SUB/)in(/SUB) = 12 V，V(SUB/)in(/SUB)= 1.5 V，L = 2.2 μH，C = 330 μF，R(SUB/)esr(/SUB)= 5 mΩ，I(SUB/)1(/SUB)＝0.5 A，I(SUB/)2(/SUB) = 8.5 A

把上述參數代入方程4和方程7，在加載過程(負載電流從0.5A躍升到8.5A)中，輸出電容陣列上的最大電壓降發生在t=0.36微秒，其值為32.9mV。

在卸載過程(負載電流從8.5A躍降到0.5A)中，輸出電容陣列的最大電壓提升發生在t=10.4微秒，其值為144.0mV。

重復試算可得到滿足1.5V +/-75mV電壓要求的最優值：C=720微法，R(SUB/)esr(/SUB)=6.2微歐。

陶瓷電容器ESR小但電容量也小，但陶瓷電容器的低ESR效應只在它保有能量期間(按C(dv/dt)=I計算)有效。電解電容器ESR大且電容量大，但電解電容器的大電容效應只表現在其諧振頻率內(按R(SUB/)esr(/SUB)C計算)。聚合物鉭電容器處于兩者之間——ESR相對較小，電容相對較大。

用哪些器件來產生720微法電容和6.2毫歐ESR呢？可用兩個330微法30毫歐(ESR)聚合物鉭電容器和6個10微法2毫歐(ESR)陶瓷電容器構成一個電容器陣列。

在電容器陣列中，應根據器件的諧振頻率遞減的次序來安排電容器與負載的相對位置。陶瓷電容諧振頻率最高，應最接近于負載，聚合物鉭電容其次，電解電容離負載最遠。

從方程4和方程7可以看出，選用小電感更有利于減少電壓偏離。把電感從2.2微亨減小到1.2微亨將可把電容值從720微法削減到390微法。對降壓轉換器來說，電感值是一個重要參數，應綜合考慮效率優化、電感紋波電流和輸出電容陣列計算等因素。