蝶形、同址和變址計算方法及公式

1. 蝶形計算
任何一個N為2的整數(shù)冪(即N=2M)的DFT，都可以通過M次分解，最后成為2點的 DFT來計算。M次分解構(gòu)成了從x(n)到X(k)的M級迭代計算，每級由N/2個蝶形組成。圖3.20表示了蝶形的一般形式表示。
其輸入和輸出之間滿足下列關(guān)系：

大多數(shù)情況下復(fù)數(shù)乘法所花的時間最多，因此下面僅以復(fù)數(shù)乘法的計算次數(shù)為例來與直接計算進行比較。
直接計算DFT需要的乘法次數(shù)為αD=N2，于是有例如，當(dāng)N=1024時，則： 205，即直接計算DFT所需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)約為FFT的205倍。顯然，N越大，F(xiàn)FT的速度優(yōu)勢越大。

同址(原位)計算
圖3. 19包含log2N級迭代運算，每級由N/2個蝶形計算構(gòu)成。蝶形計算的優(yōu)點是可以進行所謂同址或原位計算。
現(xiàn)在來考察第一級的計算規(guī)律。設(shè)將輸入x(0)，x(4)，x(2)，x(6)， x(1)，x(5)，x(3)，x(7)分別存入計算機的存儲單元M(1), M(2), M(3),…，M(7)和M(8)中。首先，存儲單元M(1)和M(2)中的數(shù)據(jù)x(0)和x(4)進入運算器并進行蝶形運算，流圖中各蝶形的輸入量或輸出量是互不相重的，任何一個蝶形的二個輸入量經(jīng)蝶形運算后，便失去了利用價值，不再需要保存。這樣，蝶形運算后的結(jié)果便可以送到M(1)和M(2)存儲起來。類似地，M(3)和M(4)中的x(2)和x(6)進入運算器進行蝶形運算后的結(jié)果也被送回 到M(3)和M(4)保存，等等。第二級運算與第一級類似，不過，M(1)和M(3)存儲單元中的數(shù) 據(jù)進行蝶形運算后的結(jié)果被送回M(1)和M(3)保存，M(2)和M(4)中的數(shù)據(jù)進行蝶形運算 后送回M(2)和M(4)保存，等等。這樣一直到最后一級的最后一個蝶形運算完成。

蝶形運算的特點是，首先每一個蝶形運算都需要兩個輸入數(shù)據(jù)，計算結(jié)果也是兩個數(shù)據(jù)，與其它結(jié)點的數(shù)據(jù)無關(guān)，其它蝶形運算也與這兩結(jié)點的數(shù)據(jù)無關(guān)、因此，一個蝶形 運算一旦計算完畢，原輸入數(shù)據(jù)便失效了。這就意味著輸出數(shù)據(jù)可以立即使用原輸 人數(shù)據(jù)結(jié)點所占用的內(nèi)存。原來的數(shù)據(jù)也就消失了。輸出、輸人數(shù)據(jù)利用同一內(nèi)存單 元的這種蝶形計算稱為同位(址)計算。
可以看出， 每一級的蝶形的輸入與輸出在運算前后可以存儲在同一地址(原來位置上)的存儲單元中，這種同址運算的優(yōu)點是可以節(jié)省存儲單元，從而降低對計算機存儲量的要求或降低硬件實現(xiàn)的成本。

3．變址計算
從圖3. 19所示的流程圖看出，同址計算要求輸入x(n)是“混序”排列的。所謂輸入為“混 序”，并不是說輸入是雜亂無章的，實際上它是有規(guī)律的。如果輸入x(n)的序號用二進制碼來 表示，就可以發(fā)現(xiàn)輸入的順序恰好是正序輸入的“碼位倒置”，表3. 3列出了這種規(guī)律。

在實際運算中，按碼位倒置順序輸入數(shù)據(jù)x(n)，特別當(dāng)N較大時，是很不方便的。因此，數(shù)據(jù)總是按自然順序輸入存儲，然后通過“變址”運算將自然順序轉(zhuǎn)換成碼位倒置順序存儲。實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的程序可用圖3. 21來說明。

圖中用n表示自然順序的標號，用l表示碼位倒置的標號。當(dāng)l=n時，x(n)和x(l)不必互相調(diào)換。當(dāng)l≠n時， 必須將x(l)和x(n)互相調(diào)換，但只能調(diào)換一次，為此必須規(guī)定每當(dāng)l>n時，要將x(l)和x(n)相互調(diào)換，即把原來存放x(n)的存儲單元中的數(shù)據(jù)調(diào)入存儲x(l)的存儲單元中，而把原來存儲x(l)的存儲單元中的數(shù)據(jù)調(diào)入到存儲x(n)的存儲單元中。
這樣，按自然序輸入的數(shù)據(jù)x(n)經(jīng)過變址計算后變成了碼位倒置的排列順序，便可進入第一級的蝶形運算。
最后介紹一下時間抽選FFT算法的另外一些形式的流程圖。對于任何流程圖，只要保持 各節(jié)點所連支路及其傳輸系數(shù)不變，則不論節(jié)點位置怎樣排列，所得到的流程圖總是等效的，因而都能得到DFT的正確結(jié)果，只是數(shù)據(jù)的提取和存儲次序不同而已。
把圖3. 19中與x(4)水平相鄰的所有節(jié)點和與x(1)水平相鄰的所有節(jié)點交換，把與x(6)水平相鄰的所有節(jié)點和與 x(3)水平相鄰的所有節(jié)點交換，而與x(2)、x(5)和x(7)水平相鄰各節(jié)點位置不變，就可以從圖3. 19得到圖3.22。圖3.22與圖3.19的區(qū)別只是節(jié)點的排列不同，而支路傳輸比，即WN的 各次冪保持不變。顯然圖3.22所示流程圖的輸入是正序(自然順序)排列的，輸出是碼位倒置 排列的，所以輸出要進行變址計算。圖3. 22所示的流程圖相當(dāng)于最初由庫利和圖基給出的時 間抽選算法。

另一種形式的流程圖是將節(jié)點排列成輸入 和輸出兩者都是正序排列，但這類流程圖不能進行同址計算，因而需要兩列 長度為N的復(fù)數(shù)存儲器。