用電路實現pascal三角形運算

Pascal三角形，即(a-b)n展開項系數，是一個經典的數學問題，然而它在通信、頻率補償、版圖布局布線優化等很多方面都有廣泛的應用。在一個小數分頻項目中，需要構建一個四級的pascal三角形來進行相位補償，如圖1所示，第二個累加器的溢出必須通過第一個微分控制分頻比，第三個累加器的溢出必須通過第二個微分控制分頻比，依此類推。第二個累加器使分頻比變為N+1、N-1，第三個累加器將分頻比變為N+1、N-2、N+1，第四個累加器的分頻比序列為N+1、N-3、N+3、N-1，正如圖2所示該序列構成一個pascal三角形，每行的總和為零。依照這個規律可以設計實現pascal 三角形運算的通用電路。

Pascal三角形的數學描述
　　pascal三角形通常用三角形的方式來表示，如圖2所示，也可以用一個二維的下三角矩陣來描述，如圖3所示。
　　矩陣a[n，n]可以用下面的公式來描述。
　　a[i, j]=a[i, j-1]+(-1)a[i+1, j] (式1)
　　(a[n, 1]=0，a[n, 2]=a[n, 3]=...=a[n, n]=1)
　　i≥1，j≥2。
　　矩陣中第一列的0是為了方便電路實現而人為加上去的。將此二維矩陣表達式(即式1)變成含有時間的一維方程。
　　a[i]j=a[i]j-1+(-1)a[i+1]j (式2)
　　i，j均大于1，a[n]2 =a[n]3=...a[n]n=1。下標表示時間，a[n，1]=0表示剛開始整個電路的清零信號，其余第一列的0表示對應pascal三角形的和為0，最后一行的1表示pascal三角形每一行對應的輸入端有輸入值1時，產生的立即數為1。
　　此外，式2具有疊加性，可以把pascal三角形中的一行加上其余任意一行或者幾行，實現任意時鐘周期的延時。

Pascal三角形的基本電路
　　根據上面一維含時公式，先要構建補碼電路，然后是一個加法電路，最后是一個延時電路。
　　假設一個數組a[n:0]表示數的各位，a[0]為最低位，對各位取反，然后最低位加1，得到一個新的數組b[n:0]，這個數組最低位為b[0]，對應的邏輯關系是：

　　其余位按照這個規律依此類推,邏輯圖如圖4所示。
　　采用通用的全加器，邏輯表達式為：

　　示意圖參見圖5。其中CI為上一級的進位，A、B為本級輸入信號，S為全加和，CO是本級進位。
　　延時器采用帶清零的D觸發器來實現，見圖6。CLOCK為時鐘信號，CLEAR為清零信號，D是數據輸入信號，Q是原量輸出
。