15年磨一劍：張益唐證明黎曼猜想相關問題？11月論文見

這兩天，張益唐「攻克」朗道-西格爾零點猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）的傳聞鋪天蓋地。

據稱，張益唐在參加10月15日北京大學校友Zoom線上會議時，在口頭上承認了這一點。

曾經解決了「孿生質數猜想」從0到1的一步時，張益唐就已經轟動全世界數學圈。而如果他真的解決了朗道-西格爾零點猜想，無疑會引發一場大地震。

不過，相關論文似乎得等到下個月才能看到。

讓我們搓手以待。

這篇論文，張益唐修改了9年

上一次張益唐在互聯網上引起這么大的關注，還是在2013年。

當時，他完成了論文《素數間的有界距離》，證明了「弱化版本的孿生素數猜想」。

論文于2013年發表在《數學年刊》上。

《素數間的有界距離》手稿

作為數學界耳熟能詳的華人「大牛」，一般人可能會以為張益唐成果頗豐。

但實際上，他在40多年的學術生涯里，只發表過屈指可數的幾篇論文。

其中比較出名的幾篇，除了2013年發表的「弱化版孿生素數猜想」之外，另外兩篇分別發表在2001年的《杜克數學期刊》和1985年的《數學學報》上，都是關于朗道-西格爾零點猜想的。

在接受《人物》周刊采訪時，張益唐曾解釋道：長久不發論文的原因，是因為自己很難接受「Partial result」——他手上已經攢了一些隨時可以出成果的研究，但他不甘心拿出來，因為「完全做完之后拿出來的東西就是大東西了。」

這與如今主流數學家的做法都不同。

在成名前，張益唐就已經研究了朗道-西格爾零點猜想很多年。

2007年5月，他還在University of New Hampshire時，就曾為此寫過一篇論文草稿。

論文地址：https://arxiv.org/abs/0705.4306

當時，這篇論文還不完整，只是關于朗道-西格爾猜想的一個大概的證明綱要，張益唐把它在預印本服務器上保存了下來，然后就把它「撂下」，跑去做快要成了的「孿生素數」問題了。

天才的預判果然很有道理，接下來發生的事，你們已經知道了。

關于「孿生素數猜想」的論文讓他大爆，一躍成為學界「頂流」。

Nature在「突破性新聞」欄目里對此成果做了專題報道。同時，羅夫·肖克獎 、柯爾數論獎、麥克阿瑟天才獎等重量級獎項，張益唐都拿到手軟。

關于他的神奇事跡也被各媒體爭相報道。

現在，時隔9年，因為他的一句話，數學圈忽然又沸騰了。

推測一下，應該是被他「撂下」多年的那篇朗道-西格爾零點猜想論文大綱已經補充完畢，完整論文出爐了。

這次，張益唐是準備二「爆」了？

朗道-西格爾零點猜想

所以，朗道-西格爾零點猜想是什么呢？

在數論中，朗道-西格爾零點問題可以看作廣義黎曼猜想的一種特殊并且可能弱得多的形式。

2019年，香港中文大學舉辦的「大師講堂」上，張益唐介紹了朗道-西格爾零點問題的歷史和應用，并解釋為何這個問題這么重要，并且難以解決。

根據香港中文大學（深圳）整理的資料，張益唐本人是這樣介紹的——

張益唐研究的意義有多重大？

為何關于張益唐的爆料一出，就驚動了整個數學圈？

因為黎曼猜想是當今數學界最重要的數學難題之一，意義重大。

要想理解它的意義，我們不妨先了解一下數論的大背景。

數論是純粹數學的分支，研究的是數的性質，可以說是最純粹的數學。畢達哥拉斯、歐幾里得、斐波那契、笛卡爾、費爾馬、萊布尼茲、拉格朗日、歐拉、高斯、希爾伯特等著名的數學家都曾在數論的研究史上留下濃墨重彩的一筆。

高斯：數學是科學的皇后，數論是數學的皇后

數論的研究產生了很多的猜想，這些猜想將極大地推動數學的研究進展。

1900年，德國數學家戴維·希爾伯特曾在第二屆數學家大會上提出了「20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題」。

而2000年克雷數學研究所「千禧年大獎難題」提出了7個重要的猜想，這項猜想如果能被解決，密碼學、航天和通訊等領域都會發生驚人的突破。

在眾多的猜想中，黎曼猜想是唯一同時出現在希爾伯特23個問題和千禧年大獎難題中的猜想。

雖然在知名度上，黎曼猜想不及費爾馬猜想和哥德巴赫猜想，但它在數學上的重要性，要遠遠超過后兩者。黎曼猜想與費馬大定理已經成為廣義相對論和量子力學融合的m理論的幾何拓撲載體。

目前，很多數論的猜想都已經被證實。1995年，費爾馬大定理被證明；2002年，卡塔蘭猜想被證明；2013年，孿生數猜想被證明；2013年，奇數哥德巴赫問題被證明。

但黎曼猜想一直都懸而未決。可以想象，如果有人證明了黎曼猜想，將是一個多么轟動的事件。

同理，如果黎曼猜想被證偽，也是數學界驚天動地的大事。

而張益唐如果真的證偽了黎曼猜想，或者證明了朗道-西格爾零點的存在，都無疑是核爆級的消息。

黎曼猜想

讓我們看一下黎曼猜想的起源。

1859年，德國數學家黎曼在論文「論小于給定數值的素數個數」中，首次提及這個猜想。

對此，「科學大抖宅」正巧在一篇文章中對此做了非常白話的解釋。

我們都知道，2、3、5、7、11這些數，除了1跟自己本身以外，不能被其他正整數整除，因此它們被稱作質數。而所有大于1的正整數，都能夠以質數的乘積來表示。 

但如果要問：「比某個特定數值要小的質數有多少個呢？質數在整個數列中的分布情況又是如何？」

這個問題就復雜了。

而黎曼發現，質數的分布跟某個函數有著密切關系：

這個公式中，s是復數，可以寫成s=a+bi這樣的形式（a是s的實部、b是s的虛部、i則是根號負一）。

數學家們可以輕易證明，只要s的實部大于1，那么整個無窮級數里，把每一項的絕對值相加后，會得到收斂并趨近于某個定值的結果。

不過，對于s的實部小于1的狀況，事情就沒那么簡單了：整個級數和可能會發散。

但我們又想要擴充函數的定義，讓它適用更廣泛的范圍，那該怎么辦呢？

只需運用一些「簡單的」數學技巧，就可以把上面的黎曼ζ函數改寫為：

其中的 Г ，稱為伽瑪函數（gamma function）。

由此可以發現，當s為負偶數（s= -2, -4, -6…）時，黎曼ζ函數為零。這些s的值，就稱為平凡零點。

但是，除了平凡零點之外，還有其他一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數為零──稱為非平凡零點；它們不但對質數的分布有著決定性影響，實數部分還全都位于零和一之間。

到了這一步，已經到達了黎曼本人也無法證明的難度了。

不過他做了一個猜測，這些非平凡零點有著共同的特性：黎曼ζ函數所有非平凡零點的實部都是二分之一。

這就是赫赫有名的黎曼猜想。

孿生素數猜想

最后，讓我們看看曾讓張益唐名聲大震的「孿生質數猜想」相關論文。

1992年博士畢業于普渡大學，張益唐度過一段坎坷的時光，終于在2013年，他對于「存在無窮多個差值小于7000萬的質數對」的證明在五周內被《數學年刊》接收。

論文地址：https://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07

在這篇論文中，他找到了孿生素數對差值的上界——7000萬，這是「孿生質數猜想」的重大進展，實現了從0到1的跨越。

后來，陶哲軒等數學家迅速將這個差距縮小到了246，但這相當于從1到2的跨越。相較而言，張益唐從0到1的這一步，意義更加重大。

關于兩位數學家的研究成果，已經被拍成紀錄片。

根據《光明日報》記者王慶環的整理，在2016年度的「求是獎頒獎典禮」上，著名科學家楊振寧曾用小學生聽得懂的語言講解了張益唐所做的研究——

對于以上解釋，張益唐本人表示：「楊振寧教授的介紹既通俗又清楚，如果讓我自己講的話，我肯定講不了那么好。」

目前，坊間已經在熱議，如果傳說為真，張益唐的成就是否能超越丘成桐、陳景潤。

讓我們靜等11月，看看張益唐是否會交出令自己滿意的「大東西」。

來源：新智元