濾波電路原理分析

波的基本概念

濾波是信號處理中的一個重要概念。濾波分經典濾波和現代濾波。

經典濾波的概念，是根據富立葉分析和變換提出的一個工程概念。根據高等數學理論，任何一個滿足一定條件的信號，都可以被看成是由無限個正弦波疊加而成。換句話說，就是工程信號是不同頻率的正弦波線性疊加而成的，組成信號的不同頻率的正弦波叫做信號的頻率成分或叫做諧波成分。只允許一定頻率范圍內的信號成分正常通過，而阻止另一部分頻率成分通過的電路，叫做經典濾波器或濾波電路。

實際上，任何一個電子系統都具有自己的頻帶寬度（對信號最高頻率的限制），頻率特性反映出了電子系統的這個基本特點。而濾波器，則是根據電路參數對電路頻帶寬度的影響而設計出來的工程應用電路。

用模擬電子電路對模擬信號進行濾波，其基本原理就是利用電路的頻率特性實現對信號中頻率成分的選擇。根據頻率濾波時，是把信號看成是由不同頻率正弦波疊加而成的模擬信號，通過選擇不同的頻率成分來實現信號濾波。

當允許信號中較高頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做高通濾波器。

當允許信號中較低頻率的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做低通濾波器。

當只允許信號中某個頻率范圍內的成分通過濾波器時，這種濾波器叫做帶通濾波器。

理想濾波器的行為特性通常用幅度-頻率特性圖描述，也叫做濾波器電路的幅頻特性。理想濾波器的幅頻特性如圖所示。圖中，w1和w2叫做濾波器的截止頻率。
 

濾波器頻率響應特性的幅頻特性圖

    對于濾波器，增益幅度不為零的頻率范圍叫做通頻帶，簡稱通帶，增益幅度為零的頻率范圍叫做阻帶。例如對于LP，從-w1當w1之間，叫做LP的通帶，其他頻率部分叫做阻帶。通帶所表示的是能夠通過濾波器而不會產生衰減的信號頻率成分，阻帶所表示的是被濾波器衰減掉的信號頻率成分。通帶內信號所獲得的增益，叫做通帶增益，阻帶中信號所得到的衰減，叫做阻帶衰減。在工程實際中，一般使用dB作為濾波器的幅度增益單位。

低通濾波器

低通濾波器的基本電路特點是，只允許低于截止頻率的信號通過。
 
（1）一階低通Butterworth濾波電路

下圖a和b是用運算放大器設計的兩種一階Butterworth濾波電路的電路。圖a是反相輸入一階低通濾波器，實際上就是一個積分電路，其分析方法與一階積分電路相同。

基本濾波電路      演示

圖b是同相輸入的一階低通濾波器。根據給定的電路圖可以得到

   對濾波器來說，更關心的是正弦穩態是的行為特性，利用拉氏變換與富氏變換的關系，有

   下圖是上式RC=2時的幅頻特性和相頻特性波特圖。

RC=2時一階Butterworth低通濾波器的頻率響應特性
 
（2）二階低通Butterworth濾波電路

下 圖是用運算放大器設計的二階低通Butterworth濾波電路。

二階Butterworth低通濾波電路     

直接采用頻域分析方法得到

   其中k = 1+R1/R2 。令Q=1/（3-k），w0=1/RC，則可以寫成      

   其中k相當于同相放大器的電壓放大倍數，叫做濾波器的通帶增益，Q叫做品質因數，w0叫做特征角頻率。

下圖是二階低通濾波器在RC=2時的波特圖，其中圖a是Q>0.707時的效果，圖b是Q=0.707時的效果，圖c是Q<0.707時的效果。

  (a) Q>0.707

    (b) Q=0.707

(c)Q<0.707

二階低通濾波器在RC=2時的波特圖

   從圖中可以看出，當Q>0.707 或Q<0.707時，通帶邊沿處會出現比較大的不平坦現象。因此，品質因數表明了濾波器通帶的狀態。一般要求Q=0.707。

由此可以得到 

   這就是二階Butterworth濾波器電壓增益得計算0.707公式。令Q=0.707，得

0.414R2 = 0.707R1

   通常把最大增益倍所對應的信號頻率叫做截止頻率，這時濾波器具有3dB的衰減。利用濾波器幅頻特性的概念，可以得到截止頻率w0 =w  =1/RC，即

      f =1/2pRC

高通濾波器的特點是，只允許高于截止頻率的信號通過。下圖是二階Butterworth高通濾波器電路的理想物理模型。

  直接采用頻域分析方法，并令k = 1+R1/R2 ，Q =1/（3-k），w0=1/RC，則可以得到二階Butterworth高通濾波電路的傳遞函數為
  

二階Butterworth高通濾波電路  演示
 

高通濾波器

   考慮正弦穩態條件下，s=jw，得

二階BButterworth高通濾波器在頻率響應特性與低通濾波器相似，當Q>0.707或Q<0.707時，通帶邊沿處會出現不平坦現象。有關根據品質因數Q計算電路電阻參數R1 和R2的方法與二階低通濾波器的計算相同。

同樣，利用濾波器幅頻特性的概念，可以得到截止頻率w0 =w  =1/RC，即  f =1/2pRC