為什么功率最大意味著靈敏度最低？

　　對于各種濾波器設計和網路理論問題進行深入探討是值得關注的話題。本文在此討論的主題為採用雙端接LC梯型濾波器的拓樸結構。首先，我必須將來源電阻和負載電阻設置為相同的值。由于電感器和電容器構成的網路具有兩個‘埠’，以供訊號進入和離開網路。在我們的濾波器中，輸入埠從具有特定電阻值的來源處獲得訊號（一般無法變更），輸出埠則連接到由另一個電阻構成的‘負載’（通?？梢约右钥刂疲?。

　　圖1顯示的是範例濾波器。其輸出端設計採用與來源電阻值一樣的電阻端接。圖2顯示的是非常良好且平坦的通帶響應。圖3顯示在移除端接電阻后的較差響應。

　　圖1： 雙端接低導通濾波器網路範例。

　　圖2：圖1元件在具有負載電阻時的電壓增益。

　　圖3：圖1元件在無負載電阻值時的電壓增益。

　　我們可以看到，對于本文所用的特定元件值，低漣波平坦響應只有在加入負載電阻的情況下才會出現。但這并非是具有兩個電阻的結果。圖4是在無負載電阻情況下產生同等振幅響應（圖5）的網路值集合。其電壓增益為0dB，而非6dB。但你是否真的會在大多數實際情況中使用該濾波器？答案不言而喻，因為響應相同，而增益更大，而且可以節省一個元件，誰不喜歡呢？

　　圖4：無負載電阻的各種元件值組合。

　　圖5：無負載電阻時，響應依舊非常出色且平坦。

　　圖6和圖7說明了我們抗拒採用‘單端接’誘惑的塬因。這兩張圖是元件值在±5%允許範圍內變化時，100個響應曲線疊加在一起的狀況。我們可以清晰地看出雙端接濾波器更能夠適應所使用元件值的小幅度變化。在下文中還可以看到當我們使用某些擴展技巧時──在不使用這些電感器的情況下，以這些網路為‘塬型’構建主動濾波器──這種特性仍然得以保留。

　　圖6：對圖1值的蒙特卡羅分析。

　　圖7：對圖4值的蒙特卡羅分析。

　　雙端接濾波器有什么特別之處呢？要回答這個問題，我們必須考慮當訊號從來源電阻通過LC網路到負載電阻時時，到底發生了什么？

　　稍微岔開一下話題。想像一下你正在面試一個類比設計職務，并要求回答下面的問題：

　　“你有一個50歐姆輸出阻抗的正弦波產生器，開路的情況下可以輸出1Vrms的電壓?？蛻艚o你一個輸入阻抗為3.3K歐姆的黑盒子；如果該黑盒子要能正常工作，需要至少3Vrms的50KHz輸入訊號。你必須讓系統工作，但卻沒有電源。你在實驗室唯一能夠使用的電子元件是雙導線的被動元組件。請說明如何解決上述問題及其工作塬理?！保ò咐?）

　　那么這個挑戰就在于沒有電池或太陽能電池，也沒有電晶體或整合電路，而且肯定也沒有變壓器。在繼續讀下去之前（特別是你準備參加面試的情況下）請先好好想想。也許我們可以從圖2找到一些靈感。想到了嗎？這裡有個適用的解決方案：

　　圖8：適合案例1的解決方案。

　　圖9：圖8解決方案的頻率響應

　　我們只使用被動雙導線元件構建一個高Q值的低導通濾波器。圖9顯示的是訊號產生器上設置為1Vrms開路輸出到黑盒子電壓的全頻段狀況。我們明確地實現了讓系統在規定頻率上工作的電壓增益。那么，哪兒可找得到免費的午餐呢？

　　當然什么地方都不會有。但我們可以問個問題：“我們能夠從這類解決方案中得到的最大電壓增益值是多少？”要得到結果，首先要認識到，雖然從這樣的元件組合中得到電壓增益是常見的，但不可能得到功率增益。這就是理解這些被動濾波器網路的關鍵所在：功率進入網路，然后離開網路。如果來源能在特定輸出電阻上提供特定的輸出電壓，對于連接的負載而言，能夠耗散的功率有嚴格的上限。你可能在學校中學習過最高功率塬理（Maximum Power Theorem），但卻未曾多加注意。但對被動濾波器而言，這個塬理非常重要，今后請予以相當的關注。

　　你可能已經想起來了，實現最高功率傳輸的條件是負載電阻和來源電阻相等。你可以使用大學？媥ガ鴘漪燥無味的微積分來證明。先用一個敘述來表達負載電阻上耗散的功率，根據負載電阻RL計算該功率的導數。將導數設為0，然后求解RL。

　　是不是一下子就豁然開朗了？你首先想到的是用變壓器。這是讓負載電阻與來源電阻匹配的傳統方法。在理想的情況下，變壓器可以把功率從來源無損地傳輸到負載，不過它一般用于電壓、電流不同的情況下。使用適當的匝數比（turns ratio），不論負載電阻值是多少，都可以在理想的情況下在負載電阻上獲得相同的耗散功率。

　　這就是我們對圖8的LC濾波器網路採用的措施：我們導入了一個變壓器。所有進入LC網路的功率又出去了。在採用正確元件值的情況下，我們可讓所有功率在特定頻率上全部到達負載上，而無論負載的值是多少。

　　如果我們可以使用變壓器或者變壓器的等效LC線路，我們可以計算出50歐姆來源和3.3K歐姆負載之間能夠獲得的最大電壓增益。所需的電壓轉換等于阻抗比的平方根，在本例中為8.12倍。將該比例與我們在等效電阻端接例子中的電壓增益0.5相乘。所以在任意LC值下可以得到的最大增益為4.06倍，或者大約12.2dB。圖10顯示以我們自製的變壓器任意選擇1，000種不同的L和C值得到的結果。響應曲線的峰值從未超過預計值。至于為什么不是每個頻率下所有功率都耗散在負載上？那是因為部份功率被反射回來源。

　　圖10：響應曲線的峰值從未超過預計值。

　　所有射頻工程師都開始不耐煩地打哈欠了，因為這對你們來說相當稀鬆平常。設計LC網路，確保讓所有來源的功率傳輸到負載，是一項稱之為阻抗匹配的核心射頻技術。這確實像兩個不等效電阻之間的濾波器設計（每種設計方案都有其伴隨的想像部份需要加以考慮）。一般是用L和C來完成的，而非體積龐大、成本高昂的變壓器。除了微波頻段外，其中的變壓器體積不大、價格也不高，不過當導體靠得太近的時候，就會造成諧振波峰。

　　現在回到我們最初討論的問題。為什么一個（正確設計的）雙端接濾波器具有如此優越的‘靈敏度’特性？這是因為對于濾波器通帶內的一個或者有時多個頻率，它工作在功率傳輸的最大可能點上。請再次觀察圖6和圖7。在雙端接濾波器情況下，元件值的任何變化只會讓功率傳輸（隨之為電壓增益）下降而非上升。在被稱為反射零點的特定關鍵頻率上，濾波器響應的‘靈敏度’與網路中每個反應元件呈拋物線函數的下行關係。這樣就很難讓網路的響應比沒有應用功率傳輸約束時更差。后者狀況指的是單端接的時候，或者任何濾波器的設計響應未能滿足最大功率增益值的時候。要得到最高功率增益值，可以拋開濾波器，使用變壓比較為合適的理想變壓器。

　　還有一個問題。我們在開始的時候曾經比較過兩種濾波器，其中一種濾波器的負載電阻與來源電阻相等，另一個則沒有負載電阻。我們能否針對在特定來源電阻和負載電阻的比率下成功設計出低靈敏度、相同頻率響應的濾波器？有時候是可行的，但至于我們的低導通濾波器案例則不能。對于特定的響應，我們需要平坦的響應，讓DC增益與那些‘觸點’最大值相等。這就意味著在該極低靈敏度的濾波器中，來源電阻和負載電阻必須等值。對于更加普遍的情況而