從信號分析的運用中回眸傅里葉算法

傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。但是該算法到底有何意義呢？

要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據該原理創立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。

因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉換成時域信號。

從現代數學的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數表示成正弦基函數的線性組合或者積分。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。

傅立葉變換屬于調和分析的內容。"分析"二字，可以解釋為深入的研究。從字面上來看，"分析"二字，實際就是"條分縷析"而已。它通過對函數的"條分縷析"來達到對復雜函數的深入理解和研究。從哲學上看，"分析主義"和"還原主義"，就是要通過對事物內部適當的分析達到增進對其本質理解的目的。比如近代原子論試圖把世界上所有物質的本源分析為原子，而原子不過數百種而已，相對物質世界的無限豐富，這種分析和分類無疑為認識事物的各種性質提供了很好的手段。

在數學領域，也是這樣，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦函數在物理上是被充分研究而相對簡單的函數類，這一想法跟化學上的原子論想法何其相似！奇妙的是,現代數學發現傅立葉變換具有非常好的性質,使得它如此的好用和有用,讓人不得不感嘆造物的神奇:

1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當的范數,它還是酉算子;

2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

3. 正弦基函數是微分運算的本征函數,從而使得線性微分方程的求解可以轉化為常系數的代數方程的求解.在線性時不變的物理系統內,頻率是個不變的性質,從而系統對于復雜激勵的響應可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應來獲取;

4. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

5. 離散形式的傅立葉變換可以利用數字計算機快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質,傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。