低通信號的采樣與重建及其SystemView仿真

抽樣定理是模擬信號數字化傳輸的理論基礎，是通信原理中最經典和最重要的定理。所謂的信號抽樣就是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續信號xa(t)"抽取"一系列的離散值，這種信號通常稱為"抽樣信號"，本文以x(t)表示，顯然其數學模型可以簡化為脈沖序列與原連續信號的乘積形式。

1 時域抽樣定理及其討論

令連續信號xa(t)的傅里葉變換為xa(jω)，抽樣脈沖序列p(t)傅里葉變換為p(jω)，抽樣后的信號x(t)的傅里葉變換為x(jω)。若采用均勻抽樣，抽樣周期為ts,抽樣頻率為ωs=2πf，由前面分析可知：抽樣的過程可以通過抽樣脈沖序列p(t)與連續信號xa(t)相乘來完成，即滿足：

式(6)其表明：信號在時域被抽樣后，他的頻譜x(jω)是連續信號頻譜xa(jω)的形狀以抽樣頻率ωs為間隔周期重復而得到，在重復過程中幅度被p(t)的傅里葉級數pn加權。因為pn只是n的函數，所以xa(jω)在重復的過程中不會使其形狀發生變化。

假定信號xa(t)的頻譜限制在一ωm～+ωm的范圍內，若以間隔ts對xa(t)進行抽樣，由式(6)可知抽樣信號x(t)的頻譜x(jω)是以ωs為周期重復。顯然，若在抽樣的過程中ωs<2ωm，則x(jω)將發生頻譜混疊現象，只有在抽樣的過程中滿足ωs≥2ωm條件，x(jω)才不會產生頻譜的混疊，接收端完全可以由x(t)恢復原連續信號xa(t)，這就是低通信號抽樣定理的核心內容。

2 信號的重建

從頻域看，設信號最高頻率不超過折疊頻率：

式(10)表明只要滿足取樣頻率高于兩倍信號最高頻率，連續時間函數xa(t)就可用他的取樣值xa(nt)來表達而不損失任何信息。這時只要把每一個取樣瞬時值與式(9)相乘求和即可得出xa(t)，在每一取樣點上，由于只有該取樣值所對應的內插函數式(9)不為零，所以各個取樣點上的信號值不變，而取樣點之間的信號由式(10)構成。

3 低通信號抽樣定理在systemview上的仿真

前面分析表明要傳輸模擬信號不一定傳輸模擬信號本身，只需傳輸按抽樣定理得到的抽樣值即可。圖1所示是低通信號采樣與重建的原理圖。

由原理圖建立對應的systemview仿真電路如圖1所示，圖中被采樣的模擬信號源是幅度為1 v，頻率為100 hz的正弦波，抽樣脈沖為脈寬為1μs矩形脈沖。樣器用乘法器替代。為驗證信號抽樣與恢復不失真的條件，分別選取了10ohz，200hz，1000 hz等不同的抽樣頻率，對原輸入信號波形與抽樣恢復后的波形進行觀察和分析，從而直觀地驗證低通信號抽樣定理。

圖2中圖符1o為正弦信號源。圖符1和4為基帶多相低通濾波器，對待傳輸的信號進行濾波，以減少實際發射占用的帶寬，在論文中設置其參數為3階、截止頻率為100 hz的巴特沃斯低通iir濾波器。圖符8和9是倍數為1的增益，對輸入信號進行放大。圖符2為乘法器。圖符3為抽樣脈沖，產生具有特定的幅度和頻率的周期性脈沖串。通過改變圖符3中頻率參數，即相當于改變采樣頻率fs。fs分別設置為100，200，1000 hz得到仿真結果如圖3～圖6所示。

通過仿真結果的對照，表明采樣頻率為1000hz 時抽樣信號恢復的效果最好，基本能得到與原信號相同的波形。由此直觀地證明了抽樣定理的正確性：抽樣信號在fs≥2fm的條件下可以重建原信號；抽樣信號頻率越高重建效果越好；由于抽樣信號的頻譜是原信號頻譜的周期性的延拓。所以，只要通過一個截止頻率為fc(fm≤fc≤fs-fm)的低通濾波器就能恢復出原信號。

4 結 語

本文對抽樣定理進行了詳細的理論推導，得到了低通信號的采樣與信號恢復的條件。理論推導表明實際抽樣中所得信號頻譜與理想取樣的頻譜結構十分相似，只是幅度變化規律不一樣，只要滿足抽樣定理從抽樣信號都能正確恢復原始連續信號，運用systemview軟件建立信號的采樣與重建的動態仿真模型，采用逐步提高采樣頻率的方法，從而得到一系列的仿真結果，直觀地驗證了低通信號的抽樣定理的正確性。