組合邏輯電路的分析與設(shè)計(jì)-邏輯代數(shù)

　　表中的基本定律是根據(jù)邏輯加、乘、非三種基本運(yùn)算法則，推導(dǎo)出的邏輯運(yùn)算的一些基本定律。
　　對于表中所列的定律的證明，最有效的方法就是檢驗(yàn)等式左邊的函數(shù)與右邊函數(shù)的真值表是否吻合。

例如，要證明A＋A=A時，可按照下面的步驟進(jìn)行證明：
　　1. 令A(yù)＝1，則A＋A＝l＋l＝l＝A；
　　2. 令A(yù)＝0，則A＋A＝0＋0＝0＝A；
　　除此之外，別無其他可能，可見A＋A＝A。

　　恒等式可以用其他更基本的定律加以證明，我們來證明其中的第一條，即

　　證明如下：

　　在以上所有定律中，反演律具有特殊重要的意義。反演律又稱為摩根定律，它經(jīng)常用于求一個函數(shù)的非函數(shù)或者對邏輯函數(shù)進(jìn)行變換
。

例1：證明反演律(摩根定律)成立
證明：
　　因?yàn)椤拜斎攵际牵睍r,輸出才是１”同“輸入有０時,輸出為０”在邏輯上是等效的,這種等效關(guān)系可寫成

　　本節(jié)所列出的基本公式反映了邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量之間的關(guān)系
，在運(yùn)算中不能簡單套用初等代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。如初等代數(shù)中的移項(xiàng)規(guī)則就不能用，這是因?yàn)檫壿嫶鷶?shù)中沒有減法和除法的緣故。這一點(diǎn)在使用時必須注意。

二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則

1.代入規(guī)則

　　在任何一個邏輯等式中，如果將等式兩邊出現(xiàn)的某變量A ，都用一個函數(shù)代替，則等式依然成立，這個規(guī)則稱為代人規(guī)則。
　　例如 ，在B(A＋C)＝BA＋BC中 ，將所有出現(xiàn)A的地方都代以函數(shù)A＋D,則等式仍成立，即得B[(A＋D)＋C]＝B(A＋D)＋BC＝BA＋BD＋BC
　　代人規(guī)則可以擴(kuò)展所有基本定律的應(yīng)用范圍。

2.反演規(guī)則

　　根據(jù)摩根定律，求一個邏輯函數(shù)Ｌ的非函數(shù)時，可以將Ｌ中的與（·）換成或（＋），或（＋）換成與（·）；再將原變量換為非變量（如Ａ換成），非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得邏輯函數(shù)式就是。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。
　　注意，交換時要保持原式中的先后順序，否則容易出錯。
　　例如，求的非函數(shù)時，按照上述法則 ，可得，不能寫成。
運(yùn)用反演規(guī)則時必須注意兩點(diǎn)：
　　（1）保持原來的運(yùn)算優(yōu)先順序，即如果在原函數(shù)表達(dá)式中,AB之間先運(yùn)算，再和其他變量進(jìn)行運(yùn)算，那么非函數(shù)的表達(dá)式中，仍然是AB之間先運(yùn)算。
　　（2）對于反變量以外的非號應(yīng)保留不變。

3.對偶規(guī)則

　　L是一個邏輯表達(dá)式，如把L中的與（·）換成或（＋）,或（＋）換成與（·）；1換成0，0換成1，那么就得到一個新的邏輯函數(shù)式，這就是L的對偶式，記作L。
　　例如，，則。變換時仍需注意保持原式中先與后或的順序。
　　所謂對偶規(guī)則，是指當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，則其對偶式也成立。
　　利用對偶規(guī)則，可從已知公式中得到更多的運(yùn)算公式。
　　例如，吸收律成立，則它的對偶式也是成立的。

三、邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡法

　　在第１章，曾經(jīng)通過列寫真值表，得到了樓梯照明燈控制的邏輯表達(dá)式，它是一個同或函數(shù)。那么 ，對應(yīng)唯一的真值表，邏輯函數(shù)表達(dá)式和實(shí)現(xiàn)它的邏輯電路是不是唯一的呢？下面就討論這個問題。

1.邏輯函數(shù)的變換

　　例：函數(shù)對應(yīng)的邏輯圖如下圖所示。利用邏輯代數(shù)的基本定律對上述表達(dá)式進(jìn)行變換。

　　解：

　　結(jié)果表明，圖示電路也是一個同或門。

　　例：求同或函數(shù)的非函數(shù)。
　　解：

　　這個函數(shù)稱為異或函數(shù)，它表示當(dāng)兩個輸入變量取值相異（一個為0，另一個為1）時，輸出函數(shù)值為1。
　　在MOS門電路中 ，我們已接觸過異或門，上面的推導(dǎo)更明確地告訴我們，異或門和同或門互為非函數(shù)。所以在異或門電路的輸出端再加一級反相器，也能得到同或門，如下圖所示。

　　至此，我們已經(jīng)學(xué)到了不止一種同或函數(shù)，但是同或函數(shù)的真值表卻是唯一的，事實(shí)上還可以列舉許多。由此可以得出結(jié)論：一個特定的邏輯問題，對應(yīng)的真值表是唯一的，但實(shí)現(xiàn)它的電路多種多樣。這給設(shè)計(jì)電路帶來了方便，當(dāng)我們手頭缺少某種邏輯門的器件時，可以通過函數(shù)表達(dá)式的變換，避免使用這種器件而改用其他器件。這種情形在實(shí)際工作中常會遇到。

2.邏輯函數(shù)的化簡

　　根據(jù)邏輯表達(dá)式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖。但是直接根據(jù)某種邏輯要求而歸納出來的邏輯表達(dá)式及其對應(yīng)的邏輯圖，往往并不是最簡的形式，這就需要對邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡。
　　一個邏輯函數(shù)可以有多種不同的邏輯表達(dá)式，如與—或表達(dá)式、或—與表達(dá)式、與非—與非表達(dá)式、或非—或非表達(dá)式以及與—或—非表達(dá)式等。

　　以上五個式子是同一函數(shù)不同形式的最簡表達(dá)式。以下將著重討論與或表達(dá)式的化簡，因?yàn)榕c或表達(dá)式易于從真值表直接寫出，且只需運(yùn)用一次摩根定律就可以從最簡與或表達(dá)式變換為與非一與非表達(dá)式，從而可以用與非門電路來實(shí)現(xiàn)。

最簡與或表達(dá)式有以下兩個特點(diǎn)：
　　①與項(xiàng)（即乘積項(xiàng)）的個數(shù)最少。
　　②每個乘積項(xiàng)中變量的個數(shù)最少。

　　代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)是運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡，常用下列方法：
　　① 并項(xiàng)法

　　② 吸收法

　　③ 消去法

　　④ 配項(xiàng)法

　　使用配項(xiàng)的方法要有一定的經(jīng)驗(yàn)，否則越配越繁。通常對邏輯表達(dá)式進(jìn)行化簡，要綜合使用上述技巧。以下再舉幾例。

例1

解：

例2