電流的連續性方程和恒定電流條件

在導體內任取一閉合曲面S，根據電荷守恒定律，單位時間由閉合曲面S內流出的電量，必定等于在同一時間內閉合曲面S所包圍的電量的減少，也就是下面的關系必須成立

, (10-5)

這就是電流連續性方程的積分形式。如果電荷是以體電荷形式分布的，則上式可以改寫為

,

上式等號左邊等于電流密度散度的體積分，于是式(10-5)可化為

,

上式積分在曲面S所包圍的體積t內進行。因為對于任意閉合曲面上式都成立，于是得到電流連續性方程的微分形式

. (10-6)

恒定電流就是其電流場不隨時間變化的電流。電流場不隨時間變化，就要求電流場中的電荷分布也不隨時間變化，由分布不隨時間變化的電荷所激發的電場，稱為恒定電場。既然恒定電場中電荷分布不隨時間變化，電流連續性方程(10-5)必定具有下面的形式

, (10-7)

上式就是恒定電流條件的積分形式。由式(10-6)可以得到恒定電流條件的微分形式

, (10-8)

恒定電流條件表明，在恒定電流場中通過任意閉合曲面的電流必定等于零。這也表示，無論閉合曲面S取在何處，凡是從某一處穿入的電流線都必定從另一處穿出。所以，恒定電流場的電流線必定是頭尾相接的閉合曲線。

上面所說的恒定電場，是由運動的而分布不隨時間變化的電荷所激發的。在遵從高斯定理和環路定理方面，恒定電場與靜電場具有相同的性質，所以兩者通稱之為庫侖電場。