Phasors如何幫助我們理解帶通信號

使用相量，我們探索了在RF通信系統使用的模型中，實值帶通信號是如何表示為復基帶信號的。

帶通信號和系統在通信系統中至關重要。有趣的是，實值帶通信號中攜帶的所有信息都包含在相應的復值基帶信號中。這種復雜的基帶表示對于理解無線電通信系統非常有幫助。

在本文中，我們將學習帶通信號的復基帶表示。作為討論的一部分，我們還將探討交流電路中相量分析的概念。然而，在我們深入探討之前，讓我們通過回顧低通和帶通信號的定義來確保我們已經涵蓋了基礎知識。

低通和帶通信號

當信號的頻率內容或頻譜以零頻率為中心時，該信號被稱為低通信號。換句話說，低通信號具有明確定義的帶寬B，|f|>B的頻譜內容可以忽略不計。

示例低通信號的頻譜，分為實部和虛部。

圖1 帶寬為b的實值低通信號的實部（a）和虛部（b）

請注意，如果s（t）是實值函數，其傅里葉變換（s（f））將表現出共軛對稱性。這意味著S（f）的實部是偶數函數，而虛部是奇數函數。

另一方面，帶通信號的頻譜中心頻率（fc）遠大于信號帶寬（B）。圖2顯示了示例帶通信號的實部和虛部。

以fc為中心的示例帶通光譜的實部（a）和虛部（b）。

圖2 中心頻率為fc、帶寬為B的實值帶通信號的頻譜，分為實部（a）和虛部（B）

與圖1中的示例基帶頻譜一樣，由于信號是實值的，圖2表現出共軛對稱性。

實信號的帶寬被定義為信號中包含的所有正頻率分量的跨度。如果信號中存在的最高和最低正頻率分別為fmax和fmin，則信號的帶寬為：

方程式1

根據上述定義，頻率為fc且振幅a恒定的單音正弦曲線的帶寬為零。

方程式2

然而，如果A隨時間緩慢變化，那么我們就有一個非零帶寬的調幅（AM）波。

交流電路中的相量表示

相量是一個復數，表示正弦波形的幅度和相位角。在交流電路分析中，相量用于分析頻率相關效應。

例如，考慮方程2中所示的單音正弦波。該信號是復雜函數的實部：

方程式3

其中，運算符Re{.}表示花括號內包含的量的實部。我們可以將花括號內的項表示為復平面中的向量，其振幅為a，初始相位為θ。如圖3所示，該信號以角速度?c=2πfc圍繞原點旋轉。

單音正弦波的相量表示。

圖3 單音正弦波的相量表示

上述矢量在實軸（其實部）上的投影產生方程2所示的原始信號。角項ωct表示每秒fc轉的穩定逆時針旋轉。為了獲得信號的簡化表示，我們將暫時忽略此項。

去除旋轉導致一個固定向量，該向量對應于方程3中方括號內的項。這個與時間無關的術語是與我們的信號相關的相量。它由以下因素給出：

方程式4

為了理解相量表示的意義，考慮一個由正弦輸入激勵的線性時不變（LTI）系統。如圖4所示，這種激勵在電路內的所有節點上產生正弦信號。盡管所有這些信號具有相同的頻率，但它們的幅度和相位可能不同。

LTI電路產生的正弦信號可以用具有不同幅度和初始相位但以相同角速度旋轉的相量來描述。

圖4 LTI電路產生的正弦信號可以用具有不同幅度和初始相位但以相同角速度旋轉的相量來描述

由于所有這些矢量以相同的速度旋轉，它們之間的相位差不會隨時間變化。這些矢量的振幅比同樣與時間無關。因此，我們可以在特定時刻凍結旋轉矢量。

從電壓和電流量中去除時間依賴性，使我們能夠將它們表示為復值、時間無關的數字。這大大簡化了電路分析。一旦我們計算了電壓或電流量的矢量，我們就可以重新引入旋轉方面來確定該量的實際時域表達式。

簡而言之，相量消除了時間依賴性的復雜性，使描述電壓和電流量變得更加容易。粗略地說，您可以將相量視為單頻正弦波的低通或直流等效物。

推導調制帶通信號的低通等效值

到目前為止，我們假設正弦波具有固定的振幅和相位。然而，類似的分析可以應用于具有緩慢變化的幅度和相位的固定頻率fc的正弦波。設以?c為中心的調制波定義為：

方程式5

其中A（t）和θ（t）是時變信號的瞬時振幅和相位。上述方程式可以改寫為：

方程式6

方程式7將括號內的項分開：

方程式7

該術語是帶通信號的復基帶表示。上述方程也可以笛卡爾形式表示：

方程式8

其中si（t）和sq（t）是等效基帶信號sl（t）的實值同相和正交分量。這些組件由下式給出：

方程式9

因為帶通信號的同相和正交分量變化緩慢，所以我們知道它們都是低通信號。將sl（t）的笛卡爾形式代入方程6，我們可以用同相和正交分量來表示原始RF波：

方程式10

上述方程表明，帶通信號可以用兩個低通信號來表示，特別是其同相和正交分量。

等效低通信號的可視化表示

帶通信號的復低通表示可以被視為時變相量，其起點位于（sI-sQ）復平面的原點。如圖5所示。

等效基帶信號sl（t）表示為（sI-sQ）平面中的時變相量

圖5等效基帶信號sl（t）表示為（sI-sQ）平面中的時變相量

由于同相和正交分量（分別為si（t）和sq（t））是時間的函數，相量矢量的末端在（si-sq）平面內移動。

從方程6中，我們觀察到等效基帶信號sl（t）乘以復指數exp（jωct），得到帶通信號sRF（t）。因此，向量sl（t）和（sI-sQ）平面以角速度?c=2πfc旋轉。

包括旋轉方面的復平面中的時變相量。

圖6包括旋轉方面的復平面中的時變相量

原始帶通信號sRF（t）是該時變相量在表示實軸的固定線上的投影。

重建帶通信號

方程10立即告訴我們如何從同相和正交分量重構帶通信號。低通到通帶轉換的電路如圖7所示。

從低通同相和正交信號生成通帶信號的框圖。

圖7從低通同相和正交信號生成帶通信號的框圖。

接下來，我們需要從帶通信號中確定等效基帶信號。我們將從sRF（t）乘以2cos（?ct）開始：

方程式11

如果我們以兩倍載波頻率對信號分量進行濾波，我們得到：

方程式12

同樣，將sRF（t）乘以-2sin（?ct）得到：

方程式13

應用適當的低通濾波器可以消除載波頻率兩倍的信號分量，從而：

方程式14

圖8顯示了我們如何使用一對乘法器和一對低通濾波器來實現方程12和14。

用于從帶通信號生成低通同相和正交信號的框圖。

圖8用于從帶通信號生成低通同相和正交信號的框圖

總結

實值通帶信號中的所有信息都包含在相應的復值基帶信號中。在本文中，我們學習了如何推導帶通信號的低通復等效值，反之亦然。

值得注意的是，擴展此討論允許我們使用復數低通濾波器來表示帶通濾波器。為帶通信號和濾波器建立低通模型具有重大的實際意義。例如，現代通信收發器應用這些模型對復雜的基帶信號進行數字處理，從而減少了對通帶信號進行模擬處理的需要。

圖7和圖8所示的電路對于理解線性調制方案至關重要，無論是模擬還是數字。在下一篇文章中，我們將看到Weaver調制器如何結合這些電路來生成單邊帶AM信號。