交流電容與容抗

電容器對交流電流的阻礙作用稱為容抗，其大小與電源頻率成反比。

電容器以電荷形式在導電極板上儲存能量。電容器儲存的電荷量(Q)與極板間電壓成正比。因此交流電容是指電容器在正弦交流電源作用下儲存電荷能力的度量。

當電容器接入直流電源時，它將按時間常數確定的速率充電至外加電壓值。只要電源持續存在，電容器將無限期保持這種電荷狀態。

充電過程中，充電電流i會流入電容器，其大小與極板電荷變化率相等，即與電壓變化速率相抗衡。因此電容器對流向極板的電流存在阻礙作用。

充電電流與電容器電源電壓變化速率的關系可用公式表示為：i = C(dv/dt)，其中C為電容值（單位法拉），dv/dt是電源電壓隨時間的變化率。當電容器"充滿電"后，由于極板電子飽和，將阻止更多電子流入，此時電容器如同臨時儲能裝置。

理想電容器即使斷開直流電源，也能無限期保持極板電荷。但在含"交流電容"的正弦電壓電路中，電容器會按電源頻率交替充放電。因此交流電路中的電容器始終處于循環充放電狀態。

當正弦交流電壓施加于電容器極板時，電容器先沿一個方向充電，再隨交流電壓極性變化反向充電。電壓瞬時變化會受到電荷沉積（或釋放）需要時間的制約，遵循V = Q/C關系。觀察以下電路：

正弦電源作用下的交流電容

[電路圖示意]

當開關閉合瞬間(t=0)，由于極板無電荷，大電流開始涌入電容器。正弦電源電壓V在0°時刻以最大速率正向增長通過零參考軸。此時極板間電位差變化率最大，流向電容器的電流也達到峰值，電子以最大速率在極板間遷移。

當電源電壓到達波形90°點時，變化速率開始減緩。在極短暫的瞬間，極板間電位差既不增也不減，電流隨之降為零。

在90°時刻，電容器兩端電位差達到最大值(Vmax)。由于電容器已充滿且極板電子飽和，電流停止流動。

隨后電源電壓開始沿負向遞減，向180°零參考線回落。雖然電源電壓仍為正值，但電容器開始釋放極板多余電子以維持恒定電壓，導致電容電流反向（負向）流動。

當電源電壓在180°點穿越零參考軸時，正弦電壓的變化率（斜率）達到負向最大值，此時流入電容器的電流也相應達到最大速率。此時極板間電位差為零，電荷均勻分布在兩極板間。

由此可見，在0°至180°的第一半周期內，施加電壓達到正最大值的時間比電流峰值滯后四分之一周期(1/4?)。換言之，純電容電路中電壓"滯后"電流四分之一周期（90°），如下圖所示：

交流電容的正弦波形

[波形圖示意]

在180°至360°的第二半周期，電源電壓反向運動并向270°負峰值趨近。在此極值點，極板間電位差既不增也不減，電流再次降為零。電容器兩端電位差達到負向最大值，無電流流入，電容器如同90°時刻那樣完全充滿，只是極性相反。

當負向電源電壓開始沿正向增長，向360°零參考線回升時，已充滿的電容器必須釋放多余電子以維持恒定電壓，開始放電直至360°時電壓歸零，隨后充放電過程周而復始。

通過上述電壓電流波形分析可見：由于充放電過程，電流始終比電壓領先1/4周期（π/2=90°），與電容器兩端電位差存在"相位差"。因此交流電容電路中電壓與電流的相位關系，與我們先前討論的交流電感電路完全相反。

這種效應也可用相量圖表示：純電容電路中電壓"滯后"電流90°。若以電壓為參考，則可表述為電流"超前"電壓四分之一周期（90°），如下矢量圖所示：

[相量圖示意]

交流電容的相量圖

[交流電容相量圖示意]

因此對于純電容，電壓VC"滯后"電流IC 90°，或者說電流IC"超前"電壓VC 90°。

記憶純交流電容電路中電壓電流相位關系有多種方法，其中最簡單易記的是使用"ICE"助記符。

"ICE"表示在交流電容中，電流I（Current）始終領先電動勢E（Electromotive force）。換句話說，電容器中電流先于電壓，I、C、E組合即為"ICE"。無論電壓初始相位角如何，這個表達式對純交流電容電路始終成立。

容抗

現在我們已了解：電容器通過極板電子流動來抵抗電壓變化，其充放電過程中電子流動量與極板間電壓變化率成正比。與電阻器通過實際電阻阻礙電流不同，電容器對電流的阻礙作用稱為電抗。

與電阻類似，電抗以歐姆為單位，但用符號X表示以區別于純電阻R值。由于討論的元件是電容器，其電抗稱為容抗(XC)，單位歐姆。

由于電容器充放電量與極板間電壓變化率成正比，電壓變化越快，電流越大；電壓變化越慢，電流越小。這意味著交流電容器的電抗與電源頻率成"反比"，如下所示：

容抗公式

[容抗公式圖示]

其中：XC為容抗（單位歐姆），?為頻率（單位赫茲），C為交流電容值（單位法拉，符號F）。

處理交流電容時，我們也可以用弧度定義容抗，其中角頻率ω=2π?。

交流電容的ω值

從上述公式可見：隨著頻率升高，容抗值及其總阻抗（單位歐姆）趨近于零，表現為短路狀態；而當頻率趨近于零（直流）時，電容器電抗趨近無窮大，表現為開路狀態，這正是電容器阻隔直流的原因。

容抗與頻率的關系與我們之前討論的感抗(XL)完全相反。這意味著容抗"與頻率成反比"：低頻時呈現高值，高頻時呈現低值，如圖所示：

容抗-頻率關系曲線

[容抗隨頻率變化圖示]

電容器容抗隨極板間頻率升高而降低。因此容抗與頻率成反比。雖然容抗阻礙電流流動，但極板上的靜電電荷量（即交流電容值）保持恒定。

這意味著在每半周期內，電容器能更充分地吸收極板電荷變化。同時隨著頻率增加，由于極板間電壓變化率增大，流入電容器的電流值也隨之增加。

極低頻率與極高頻率對純交流電容電抗的影響可表示如下：

[頻率對容抗影響示意圖]

在純電容交流電路中，流入電容器的電流（電子流）表示為：

[交流電容電流公式圖示]

因此，流入交流電容器的有效值電流定義為：

[交流電容器電流計算公式]

其中：IC = V/(1/ωC)（或IC = V/XC）為電流幅值，θ = +90°表示電壓與電流之間的相位差。對于純電容電路，Ic超前Vc 90°，或者說Vc滯后Ic 90°。

相量域分析

在相量域中，交流電容兩端的電壓可表示為：

[交流電容的相量域電壓圖示]

其極坐標形式為：XC∠-90°，其中：

[交流電容的阻抗公式圖示]

RC串聯電路的交流特性

前文已說明，純交流電容中的電流會超前電壓90°。但在實際應用中，不存在絕對的純電容，因為所有電容器極板都存在一定內阻，從而產生漏電流。因此，我們可以將電容器視為一個電阻R與電容C串聯組成的"非理想電容"。

當電容器存在內阻時，其總阻抗應表示為電阻與電容的串聯組合。在同時包含電容C和電阻R的交流電路中，組合兩端的電壓相量V等于兩個分量電壓VR和VC的相量和。這意味著流入電容器的電流仍會超前電壓，但超前角度小于90°，具體取決于R和C的值，其相位差用希臘字母Φ表示。

考慮以下歐姆電阻R與純電容C串聯的電路：

[RC串聯電路圖示]

在該RC串聯電路中：

- 電流同時流經電阻和電容

- 總電壓由兩個分量電壓VR和VC組成

雖然可以通過數學計算求得這兩個分量的合成電壓，但由于VR和VC存在90°相位差，更直觀的方法是構建矢量圖進行矢量相加。

要繪制交流電容的矢量圖，需要選定參考量。在串聯交流電路中，電流是公共量，因此可作為參考基準。純電阻和純電容的獨立矢量圖如下：

[兩種純元件的矢量圖圖示]

交流電阻的電壓矢量與電流矢量同相，因此VR矢量按比例與電流矢量重合繪制。而在純交流電容電路中，我們知道電流超前電壓（遵循"ICE"法則），因此VC矢量按相同比例繪制在電流矢量后方90°處（即滯后90°）。

合成電壓的矢量圖：

[合成電壓矢量圖圖示]

圖中：

- OB線代表水平電流參考軸

- OA線表示與電流同相的電阻電壓分量

- OC線表示滯后電流90°的電容電壓分量

- OD線給出電源總電壓

由于純電容中電流超前電壓90°，由VR和VC壓降繪制的合成相量圖構成直角三角形OAD。我們可運用勾股定理計算RC電路的總電壓值。已知VR = I·R，VC = I·XC，則外加電壓為兩者的矢量和：

[電壓三角形公式圖示]

RC電路的阻抗

阻抗Z（單位：歐姆Ω）是交流電路中電阻（實部）和電抗（虛部）對電流的總阻礙作用。純電阻阻抗的相位角為0°，而純電容阻抗的相位角為-90°。

當電阻和電容連接在同一電路中時，總阻抗的相位角將介于0°到-90°之間，具體取決于元件參數值。通過阻抗三角形可以求解上述簡單RC電路的阻抗：

[RC阻抗三角形圖示]

阻抗計算公式為：

（阻抗）2 = （電阻）2 + （j電抗）2

其中j表示90°相位偏移

運用勾股定理，可計算出電壓與電流之間的負相位角θ：

[電阻與電抗間的相位角公式]

交流電容實例分析1

已知單相正弦交流電源電壓為：V(t) = 240 sin(314t – 20°) ，連接至200μF的純交流電容。試求流入電容器的電流值，并繪制相應相量圖。

[交流電容示例1圖示]

電容器兩端的峰值電壓等于電源電壓。將該時域值轉換為極坐標形式：VC = 240∠-20° (V)。容抗計算公式為：XC = 1/(ω·200μF)。根據歐姆定律，流入電容器的最大瞬時電流為：

[電容器電流計算公式]

在交流電容電路中，電流超前電壓90°，所得相量圖如下：

[相量圖圖示]

交流電容實例分析2

某電容器內阻10Ω、容值100μF，接入電源電壓V(t) = 100 sin(314t)。試計算流入電容器的峰值瞬時電流，并構建顯示各電壓分量的電壓三角形。

[交流電容示例2圖示]

首先計算容抗和電路阻抗：

[電路阻抗計算公式]

則流入電容器和電路的峰值電流為：

[電容器電流計算公式]

根據阻抗三角形，電流與電壓的相位差計算如下：

[相位角φ計算公式]

電路各部分的電壓降計算為：

[電壓降計算公式]

最終得到的峰值電壓三角形相量圖如下：

[電壓相量圖圖示]

交流電容特性總結

1. 純交流電容電路中，電壓與電流存在90°相位差，電流超前電壓（"ICE"記憶法則）

2. 電容的交流電阻特性稱為阻抗(Z)，與頻率相關；其電抗特性稱為容抗(XC)

3. 容抗計算公式：XC = 1/(2π?C) 或 1/(-jωC)

4. 三種無源元件特性對比：

   - 電阻：相位角0°

   - 電感：相位角+90°

   - 電容：相位角-90°

下節預告

在關于RLC串聯電路的教程中，我們將探討：

1. 三種無源元件在串聯電路中的電壓-電流關系

2. 穩態正弦交流波形作用下的響應特性

3. 對應的相量圖表示方法交流電容實例分析1