復數與相量

在電氣工程中，用于計算電阻、電流或直流電壓疊加的數學工具是實數。

然而，在處理與頻率相關的正弦電源和矢量時，實數并非我們唯一需要的數字類型。除了常規的實數外，復數被引入以解決涉及負數的平方根（√1）的復雜方程。

在電氣工程中，這類數字被稱為“虛數”。為了區分虛數與實數，工程領域常用字母“j”（即j算子）表示虛數。因此，將“j”置于實數前即可標記其為虛數運算。

虛數示例：j3、j12、j100等。復數則由兩個不同但密切相關的部分組成——“實數部分”加“虛數部分”。

復數代表二維復平面（或稱s平面）中的點，該平面由兩條軸定義：水平軸稱為“實軸”，垂直軸稱為“虛軸”。復數的實部和虛部分別縮寫為Re(z)和Im(z)。

由實數（有功分量）和虛數（無功分量）構成的復數，其加減運算規則與初等代數分析直流電路時完全相同。

虛數加減運算的數學規則與實數一致（例如j2+j4=j6）。唯一區別在于乘法——兩個虛數相乘會得到負實數。實數也可視為虛部為零（標記為j0）的復數。

j算子的值嚴格等于√1，因此連續對“j”作乘法（j×j）將依次得到以下結果：1、j和+1。由于j算子通常用于表示矢量的逆時針旋轉，每次連續的乘方（j2、j3等）會使矢量按固定角度90°逆時針旋轉（如下圖所示）。同理，若矢量乘法結果為j算子，則相位偏移為90°（即順時針旋轉）。

j算子的矢量旋轉

（圖示：復數中j算子的矢量旋轉）

因此，用j2乘以虛數會使矢量逆時針旋轉180°，j3對應270°，j?則旋轉360°回到原位。用j1?或j3?相乘時，矢量將按相應角度逆時針旋轉。每次旋轉中，矢量幅值始終保持不變。

在電氣工程中，復數可通過圖形或數學多種方式表示。其中一種基于余弦和正弦法則的方法稱為笛卡爾形式（直角坐標形式）。

復數的直角坐標表示

在關于相量的前篇教程中，我們了解到復數由實部和虛部構成，其通用形式為：

復數格式

其中：

Z——代表矢量的復數

x——實部（有功分量）

y——虛部（無功分量）

j——定義為√1

在直角坐標形式中，復數可表示為復平面（s平面）上的一個點。例如Z=6+j4對應的坐標點為：實軸6，虛軸4（如下圖所示）。

復數的復平面表示

（圖示：復數在s平面中的表示）

由于直角坐標形式中復數的實部和虛部均可正可負，因此實軸和虛軸均需雙向延伸。這將形成包含四個象限的復平面，稱為阿岡圖（如下圖所示）。

四象限阿岡圖

（圖示：四象限阿岡圖）

在阿岡圖中：

水平軸右側表示正實數，左側表示負實數；

垂直軸上方表示正虛數，下方表示負虛數。

由此形成的二維復平面包含四個明確象限，標記為QI、QII、QIII和QIV。

上述阿岡圖還可用于表示旋轉相量——相量幅值為半徑的點在復平面中每2π/ω秒完成一整圈旋轉。

進一步擴展這一概念，可展示90°旋轉時復數的極坐標與直角坐標定義：

（圖示：復數的極坐標與直角坐標定義）

復數也可能存在實部或虛部為零的情況（如Z=6+j0或Z=0+j4），此時點直接落在實軸或虛軸上。復數的角度可通過直角三角形三角函數計算，或從正實軸開始沿阿岡圖逆時針測量。

角度劃分規則：

0°至90°位于第一象限（I）；

90°至180°位于第二象限（II）；

180°至270°位于第三象限（III）；

270°至360°位于第四象限（IV）。

各象限角度可通過公式計算：

復數的加減運算

復數的加減可通過直角坐標形式的數學運算或圖形化完成。加法運算時，先將實部相加得到和的實部，再將虛部相加得到和的虛部。以下以復數A和B為例演示該過程：

復數加減法示例

（圖示：復數加減法運算）

復數示例1

定義兩個矢量：A=4+j1，B=2+j3。分別以直角坐標形式（a+jb）和阿岡圖求解兩矢量的和與差。

數學加減法

加法：

減法：

圖形化加減法

（圖示：圖形化加減法演示）

復數的乘除運算

直角坐標形式的復數乘法遵循與常規代數相似的規則，并增加j算子連續乘法的特殊規則（j2=1）。例如，將上述矢量A=4+j1與B=2+j3相乘結果如下：

數學上，直角坐標形式的復數除法較為復雜，需要通過分母共軛函數將分母轉換為實數（稱為“有理化”）。因此復數除法建議采用極坐標形式求解（后續討論）。不過，此處仍以直角坐標形式演示矢量A除以矢量B的過程：

復數的共軛

復數的共軛（簡稱共軛）是指僅改變復數虛部的代數符號，而保持實部符號不變。復數的共軛記作 z 。例如：

z = 6 + j4的共軛為 z = 6 – j4

z = 6 – j4 的共軛是 z = 6 + j4

在阿岡圖中，共軛復數與原復數在實軸上的位置相同，但在虛軸上的位置相反。因此，共軛復數可視為原復數在實軸上的鏡像反射。下圖展示了復數(6+j4)及其共軛在復平面中的表示：

共軛復數圖示

（圖示：復數及其共軛在復平面中的位置）

正如我們上面看到的，復數及其復共軛之和將始終是一個實數。然后，將復數及其共軛相加僅給出實數或有功分量的結果，而它們的減法僅給出虛數或無功分量。復數的共軛是電氣工程中用于確定使用矩形形式的交流電路的視在功率的重要元素。

復數的極坐標形式

與直角坐標形式（用復平面中的點表示）不同，極坐標形式通過幅值和角度描述復數，表示為：

Z = A ∠±θ

其中：

Z：極坐標形式的復數

A ：矢量的幅值（模）

θ ：矢量的角度（幅角），可正可負

極坐標形式中，點的位置以“三角形”表示（如下圖所示），其幅值和角度與直角坐標形式相同，可通過三角學和勾股定理計算：

極坐標形式的復數表示

（圖示：極坐標形式的復數）

幅值與角度的計算

幅值（模）：

角度（幅角）：

極坐標形式的共軛復數與原復數幅值相同，但角度符號相反。例如，6 ∠30o的共軛為6 ∠– 30o。

直角坐標與極坐標的轉換

直角坐標形式與極坐標形式的相互轉換

在直角坐標系中，我們可以用水平軸（實軸）和垂直軸（虛軸或j分量軸）的坐標來表示矢量。而在極坐標系中，這些實軸和虛軸被簡化為"A∠θ"的形式。以前文示例為基礎，兩種坐標系之間的轉換關系可定義如下：

極坐標轉直角坐標（P→R）

[插入復數轉換公式圖示]

我們同樣可以進行逆向轉換：

直角坐標轉極坐標（R→P）

[插入復數轉極坐標圖示]

極坐標下的乘法與除法運算

雖然直角坐標形式最適合進行復數的加減運算（如前文所述），但極坐標形式在乘除運算中更具優勢。進行極坐標矢量乘法運算時，需先對兩個模量（幅值）進行乘積運算，再對其相位角進行求和。

極坐標乘法公式

[插入極坐標乘法公式圖示]

示例：6∠30°與8∠-45°的極坐標乘法運算結果為：

[插入極坐標乘法示例圖示]

極坐標除法公式

同理，進行極坐標矢量除法時，需對兩個模量作除法運算，再對其相位角作減法運算：

[插入極坐標除法公式圖示]

[插入極坐標除法示例圖示]

現代科學計算器已內置數學轉換功能（詳見說明書），可輕松實現直角坐標與極坐標的雙向轉換（R→P和P→R）。

復數的指數形式表示

截至目前，我們已探討了復數的兩種表示形式：直角坐標形式（a+jb）和極坐標形式（A∠±θ）。但還存在第三種表示方法——指數形式，其原理與極坐標形式類似，均對應正弦波的幅值和相位角，但采用自然對數底數e（e=2.718281...）來計算復數值。

指數形式通過直角三角形中的正弦（sin）和余弦（cos）三角函數來定義復平面中的旋轉點。這種表示方法基于瑞士數學家萊昂哈德·歐拉提出的歐拉恒等式：

指數形式公式

[插入復數指數形式旋轉相量圖圖示]

那么歐拉恒等式可以用下面在復平面上的旋轉相量圖來表示。

可以看出歐拉恒等式與極坐標形式高度相似，表明如Ae jθ這類幅值為1的數值也屬于復數。我們不僅能將指數形式輕松轉換為極坐標形式（例如：2e j30 = 2∠30, 10e j120 = 10∠120 ， -6e j90 = -6∠90），還能通過歐拉恒等式將指數形式轉換為直角坐標形式。因此，復數在指數、極坐標和直角坐標三種形式間的轉換關系為：

復數形式對照

[插入復數形式關系圖示]

相量表示法

前文已探討了用復數表示旋轉矢量或靜態矢量的不同方法。相量表示法是通過構建單一復數來描述正弦波的幅值和相位角的過程。

相量表示法（或稱相量變換）將正弦函數的實部 A(t) = Am cos(ωt ± Φ)從時域轉換到復數域（即頻域）。例如：

[插入指數形式復數示例圖示]

（注：√2將最大幅值轉換為有效值/均方根值，相位角以弧度ω表示）

復數知識總結

本節教程關于復數及其在電氣工程中的應用總結如下：

1. 復數由實部和虛部兩個獨立部分組成

2. 虛數通過j算子與實數區分

3. 字母"j"前綴標識該數為復平面中的虛數

4. 根據定義，j算子j≡√-1

5. 虛數可像實數一樣進行加減乘除運算

6. j×j的運算結果為j2=-1

7. 直角坐標形式用復平面上的點表示復數

8. 極坐標形式用帶幅值和相位角的線段表示復數

9. 指數形式采用自然對數底數和對應角度表示復數

10. 復數的三種表示方法：

    Z=x+jy → 直角坐標形式

    Z=A∠Φ → 極坐標形式

    Z = A e jΦ→ 指數形式

11. 歐拉恒等式可實現指數形式到直角坐標形式的轉換

在包括本篇在內的系列教程中，我們了解到相量可用于表示正弦波形，其幅值和相位角能以復數形式表示。我們還發現復數可采用直角坐標、極坐標或指數形式表示，并能進行各種代數運算，包括加減乘除。

在接下來關于交流串聯電路相量關系的教程中，我們將探討常見無源電路元件的阻抗特性，并通過繪制電流相量圖和元件兩端電壓相量圖進行分析，首先從交流電阻開始。