相量圖與相量代數

相量圖是一種用圖形表示兩個或多個交流量之間幅值和方向關系的工具。

相量圖通過在坐標系中繪制圖形，直觀展示無源元件或整個電路中電壓與電流之間的相位關系。通常，相量以參考相量為基準定義，參考相量始終沿x軸向右。

同頻率的正弦波之間存在相位差，表示兩個正弦波形之間的角度差異。常用“超前”“滯后”“同相”“異相”等術語描述正弦波形之間的關系。廣義正弦表達式為：

A(t) = Am sin(ωt ± Φ) 該式以時域形式表示正弦波。

但通過數學公式表示時，有時難以直觀理解兩個（或多個）正弦波形之間的角度或相量差異。解決這一問題的方法之一是使用相量圖在空間或相量域中圖形化表示正弦波，這通過旋轉矢量法實現。

旋轉矢量（也稱為“相位矢量”）是一條長度可變的線段，其長度代表交流量的幅值（“峰值”）和方向（“相位”），并在某一時刻“凍結”。矢量一端帶有箭頭，部分表示矢量的最大值（ Vm or Im），部分表示矢量的旋轉末端。

通常假設矢量圍繞固定零點（稱為“原點”）旋轉。帶箭頭的一端表示以角速度（ω）逆時針自由旋轉的量。矢量的逆時針旋轉被視為正旋轉，順時針旋轉則為負旋轉。

盡管“矢量”和“相量”均用于描述具有幅值和方向的旋轉線段，但兩者的主要區別在于：矢量的幅值是正弦波的“峰值”，而相量的復幅值是正弦波的“有效值”（RMS值），因為相量用于涉及電抗的交流電路。兩者的相位角、方向和角速度相同。

交流量在任意時刻的相位可以通過相量圖表示，因此相量圖可視為“時間函數”的圖形化表達。一個完整的正弦波可通過單個矢量以角速度ω=2π?逆時針旋轉構建（?為波形頻率）。因此，相量是一個兼具“幅值”和“方向”的量。

此外，矢量遵循平行四邊形加減法則，因此可以相加生成以角速度逆時針旋轉的矢量和。相量則用數學上的直角坐標、極坐標或指數形式表示，例如（a+jb）。因此，相量符號定義了電壓和電流的有效值（RMS值）。

繪制相量圖時，通常假設正弦波的角速度為ω（弧度/秒）。觀察以下相量圖：

正弦波的相量圖

當單個矢量逆時針旋轉時，其端點A將完成360°或2π弧度的完整旋轉，代表一個完整周期。若將旋轉端在不同時間點的位置投影到圖中（如上所示），則從左端（零時刻）開始可繪制出正弦波形。水平軸的每個位置表示從零時刻（t=0）起經過的時間。當矢量水平時，其端點表示角度0°、180°和360°。

同理，矢量垂直時，其端點表示正峰值（+Am >，對應90°或π/2）和負峰值（ -Am，對應270°或3π/2）。波形的時間軸表示相量移動的角度（度或弧度）。因此，相量可視為旋轉矢量在某一時刻（t）的“凍結”值，代表縮放后的電壓或電流值。上例中，該時刻對應角度為30°。

分析交流波形時，有時需要知道相量在特定點的位置（尤其是比較同一軸上的兩個不同波形時，例如電壓和電流）。上例假設波形從t=0開始，具有相應的相位角（度或弧度）。

但如果第二個波形的起點位于零點的左側或右側，或需用相量符號表示兩個波形的關系，則必須考慮波形的相位差Φ。觀察以下相位差教程中的圖示：

正弦波的相位差

定義這兩個正弦量的廣義數學表達式為：

電流i滯后電壓v的角度為Φ（上例中為30°）。因此，表示這兩個正弦量的相量之間的差異為角度Φ，生成的相量圖如下：

正弦波的相量圖

相量圖對應時間零點（t=0）繪制在水平軸上。相量的長度與電壓（V）和電流（I）在繪制時刻的瞬時值成比例。如前所述，電流相量滯后電壓相量角度Φ，因為兩個相量逆時針旋轉，因此角度Φ也按逆時針方向測量。

若將波形凍結在t=30°時刻，對應的相量圖如右圖所示。由于兩個波形頻率相同，電流相量仍滯后電壓相量。但由于電流波形此時穿過水平零軸，可將電流相量作為新參考，并正確描述電壓相量“超前”電流相量角度Φ。無論如何，一個相量被指定為參考相量，其他相量均相對于該參考相量超前或滯后。

相量圖的加法

相量的一個重要用途是疊加同頻率的正弦量。在研究正弦波時，有時需要將兩個不同相的交流波形相加（例如交流串聯電路中）。

若兩個波形“同相”（無相位差），則可像直流值一樣直接相加求矢量的代數和。例如，兩個電壓分別為50伏和25伏且同相時，它們相加結果為75伏（50+25）。

但如果它們不同相（方向或起點不同），則需考慮相位角，并通過相量圖使用平行四邊形法則求合成相量或矢量和。

假設兩個交流電壓V1（峰值20伏）和 V2（峰值30伏），且V1到V2 為60°。總電壓VT可通過繪制相量圖表示這兩個矢量，并構造平行四邊形（兩邊為V1和V2）求得，如下所示：

兩個相量的加法

通過按比例繪制兩個相量，其相量和V1+V2可通過測量對角線長度（稱為“合成r矢量”）得到，即從零點到構造線0-A的交點。這種圖形法的缺點是按比例繪制相量耗時，且若繪制不精確可能導致誤差。

另一種確保結果準確的方法是解析法。數學上，可通過計算兩個電壓的“垂直”和“水平”分量，再求合成“r矢量”VT的分量來相加。這種利用余弦和正弦定理求合成值的方法稱為直角坐標形式。

在直角坐標形式中，相量分為實部（x）和虛部（y），構成廣義表達式Z=x±jy（下節將詳細討論）。由此得到表示正弦電壓幅值和相位的數學表達式：

因此，使用廣義表達式將兩個矢量A和B相加的步驟如下：

直角坐標形式的相量加法

假設電壓V2（30伏）沿水平零軸方向，則其只有水平分量，無垂直分量：

-水平分量=30cos0°=30伏

-垂直分量=30sin0°=0伏

因此，V2的直角坐標表達式為：30+j0

電壓V1（20伏）超前V260°，因此具有水平和垂直分量：

-水平分量=20cos60°=20×0.5=10伏

-垂直分量=20sin60°=20×0.866=17.32伏

因此，V1的直角坐標表達式為：10+j17.32

合成電壓VT通過水平和垂直分量相加得到：

-水平分量=V1和V2實部之和=30+10=40伏

-垂直分量=V1和V2虛部之和=0+17.32=17.32伏

通過勾股定理計算90°三角形的斜邊，得到VT的幅值：

合成相量圖如下：

合成電壓VT的確定

相量圖的減法運算與前述直角坐標加法類似，但此時矢量差為電壓V1和V2所構成平行四邊形的另一條對角線，如下圖所示：

兩個相量的減法

與加法不同，減法需對水平和垂直分量進行相減運算：

三相相量圖

此前我們僅討論了單相交流波形（單個多匝線圈在磁場中旋轉）。若將三個匝數相同的線圈以120°電角度間隔安裝在同一轉子軸上，則可產生三相電壓。

平衡三相電源由三個幅值、頻率相同但相位互差120°的正弦電壓組成。國際標準用紅（R）、黃（Y）、藍（B）三色標識相位，并以紅色相位為參考相位。三相電源的標準相序為紅→黃→藍（R-Y-B）。

與單相相量類似，三相系統的相量也以角速度ω（弧度/秒）繞中心點逆時針旋轉。下圖展示星型（Y）或三角形（Δ）連接的三相平衡系統相量圖：

三相星型連接相量圖

各相電壓幅值相等，僅相位角不同。三個線圈繞組在a1、b1、c1點連接形成公共中性點。以紅色相位為參考時，各相電壓對中性點的表達式為：

若以VRN為參考電壓，則黃色相位電壓滯后VRN120°，藍色相位電壓又滯后VYN120°。亦可表述為藍色相位電壓VBN超前VRN120°。

關于三相系統的關鍵特性：由于三個正弦電壓的相位差恒為120°，它們構成“平衡”系統，因此其相量和恒為零：Va + Vb + Vc = 0

相量圖要點總結

1.本質：相量圖是旋轉矢量在水平軸（瞬時值）上的投影，參考相量始終沿x軸正方向繪制。

2.適用范圍：僅適用于正弦交流量。

3.多相量表示：可同時表示任意時刻兩個及以上同頻率正弦量（電壓、電流等）。

4.繪制規則：

-參考相量置于水平軸，其他相量按相對位置繪制

-所有相量以逆時針方向旋轉

-超前相量位于參考相量前方，滯后相量位于后方

5.幅值標準：相量長度通常代表有效值（RMS），而非峰值。

6.頻率限制：不同頻率的正弦波不可共用相量圖（因旋轉速度不同導致相位差動態變化）。

7.矢量運算：通過平行四邊形法則可進行加減運算，合成單一矢量。

8.三相特性：平衡系統中各相量間隔120°。

在接下來的交流理論教程中，我們將探討用復數（直角坐標式、極坐標式、指數式）表示正弦波形的方法。