對比兩個具有無限間斷點信號的頻譜

今天想到一個問題，  這里有兩個都帶有無窮多個間斷點的信號。它們都位于 0,1 之間。?第一個信號是從 0 開始往1前進，  每前進剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個信號是從 0 往 1 前進， 每次都前進剩余路程的一半。在前進的路程中出現一個寬度為路程長度一半的矩形脈沖信號。?根據傅里葉變換，  這兩個信號都不滿足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？

圖1.1.1 第一種間斷點函數

圖1.1.2 第二種間斷點信號

二、信號1頻譜

1、頻譜推導

首先求取第一個型號的頻譜。?這是它的數學表達式，?對于級數中每一項，??它都表示一個矩形脈沖，?高度為 2 的 負 n 次方，?起始點為 1 減去 2 的負 n 次方，?終點為 1 減去 2 的負 n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負 n 加 1 次方。??寫出該脈沖信號的頻譜。?請注意， 該信號的中心應該位于 1 減去3 倍的 2 的 負n 減1次方。?

圖1.2.1 級數每一項對應的傅里葉變換

對于原信號的頻譜， ??就是需要將級數每一項的頻譜都加起來，?這樣便得到信號的頻譜了。??

下面是整理后的頻譜公式：

圖1.2.2 信號的傅里葉級數分解公式

圖2.2 第一個型號的幅度譜

2、驗證公式

這是最終推導出來的信號頻譜公式， 這也是一個級數。?下面通過離散傅里葉變換來驗證一下這個公式。

這是通過 Python 編程， 取正負 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬個頻譜數據點，進行反變換。?計算頻譜級數取 100 級。?這是計算出來的信號波形。可以看到它與給定的信號是一致的。?在 0 點有一個過沖， ?其余其它間斷點都有過沖。?據此，不僅驗證了這個公式的有效性，  而且還可以大致推斷出該公式應該是收斂的。

圖1.2.3 第一個信號IFFT的結果

三、信號2頻譜

1、頻譜推導

對于第二個信號， ?它表述成無窮級數的形式，?其中每一項信號?對應的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號所在的區域的起始位置和其中脈沖的起始和結束位置。??每一個 脈沖的頻譜對應的sinc 函數。將它們疊加起來形成整個信號的頻譜。

圖1.3.1 單個脈沖的頻譜推導

下面是推導之后的信號波形：圖片圖片

第二個信號的幅度譜

2、驗證公式

為了驗證這個公式的正確性， 依然通過Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對應的波形。?取 正負 10000之內的頻譜， 采樣 10 萬個數據點， ?進行傅里葉反變換最終得到信號的是不波形，  這個結果初步驗證了公式的正確性。?關于這個信號誤差的收斂性，以后再進行仿真驗證。?左邊是原始信號波形，  右邊是利用有限頻譜合成的信號波形。

圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號的近似波形

本文對于兩個具有無線間斷點信號的頻譜進行了推導，?它們都是無限級數形式，??并使用 離散傅里葉變換進行數值求解，?通過仿真波形驗證了頻譜公式的正確性。?關于它們頻譜的收斂性， 以后再進行討論。

圖2.1 信號波形及其頻譜

來源：卓晴，TsinghuaJoking