巴特沃斯低通濾波器的設計與仿真分析

0   引言

巴特沃斯濾波器（Butterworth Filter）也被稱作最大平坦濾波器。其特點是在通頻帶內，其頻率響應曲線最大限度平坦、單調遞減無波紋產生；而在阻頻帶內，其頻率響應曲線逐漸下降為零。這些優點使其在信號處理領域有著廣泛的應用。對于濾波器的性能一般考慮其幅頻特性，但對于更深層次的信號處理應用方面，濾波器的相頻特性也是其重要特性之一。尤其是在多點激勵、載荷建立以及傳遞路徑識別等方面問題的研究中具有重要作用。

1   巴特沃斯濾波器傳遞函數分析

連續時間巴特沃斯低通濾波器可用式（1）表示。

式中：B(jω) 為連續時間巴特沃斯傳遞函數，ω 為頻率，ω_C 為濾波器截止頻率，N 為階數，該濾波器Bode 圖如圖1 所示。

將式（1）轉換為Laplace 域分析，即令s = jω，可得到式（2）。

圖1 巴特沃斯濾波器Bode圖

求解式（2）的極點，可得式（3）。

對極點作歸一化處理，即令：

作歸一化巴特沃斯濾波器的拉普拉斯域平面，可以得到2N 個以虛軸Im 對稱的極點，以N = 3 為例其極點分布如圖2 所示，所有極點都均分在以原點為中心的單位圓上。

為形成因果穩定系統，取左半平面極點構建式（5）的傳遞函數。

圖2 極點分布圖

其中多項式系數b_i可構為建歸一化N 階巴特沃斯濾波器的傳遞函數系數，不同階數系數如表1 所示。

對應不同階數N， 繪制歸一化巴特沃斯濾波器Bode圖如圖3 所示。

圖3 歸一化巴特沃斯濾波器Bode圖

2   數字濾波器設計實例

現以表2 所述濾波器性能參數，實例設計巴特沃斯型數字濾波器。

針對通帶截止頻率與阻帶截止頻率設計要求，建立式（6）與（7）的濾波器設計約束條件。

通過約束條件，可通過式（8）得到理論設計階數。

由于階數需為整數，將理論階數N* 向高階取整以得到N，并代入式（9），即可得到截止頻率ω_c。

經計算，N = 4，ω_c = 5.275 kHz，通過歸一化濾波器系數，即可表得到濾波器的傳遞函數為式（10）。

采用雙線性變換法，即通過式（11）完成s 域到z域的映射。由此即可得到在采樣頻率下的數字濾波器傳遞函數。

3   濾波器的仿真分析

仿真過程中，通過構建兩路不同頻率正弦波信號x1和x2進行疊加作為輸入，其中x1為300Hz，x2為15kHz。按圖4 所示原理圖，將疊加信號通過采樣器采樣后輸入數字濾波器，通過示波器分別顯示原始疊加信號、低頻信號與濾波信號的波形。

圖4 仿真系統原理

通過圖5的波形分析可以看出，該濾波器可以很好的將高頻信號濾除，濾波信號的波形基本能夠還原輸入的低頻信號。只是在幅值上有0.028%的衰減，相位上存在127.433μs的延遲。

圖5 波形分析

4   結束語

本文從巴特沃斯濾波器的設計原理著手，通過極點分析推導了巴特沃斯系數表的構建方法，并分析了設計階數對濾波器的幅頻特性與相頻特性所產生的影響。通過結合實例指標參數要求，使用雙線性變換法完成了巴特沃斯型數字濾波器的設計。最后通過仿真分析，驗證了該數字濾波器的濾波效果，結果表明在通頻段信號的幅值有微弱的降低，相位有少量滯后，但總體還原程度較高，效果理想。

參考文獻：

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（本文來源于《電子產品世界》雜志2022年12月期）