Mathcad在推挽式開關電源設計中的應用

摘要：推挽式開關電源廣泛應用于各種電子設備。開關電源的環路補償對電源系統的穩定性、可靠性起著決定作用，因此如何設計出合理可靠的補償參數十分重要。運用Mathcad計算推挽式開關電源補償電路元件的參數，仿真出開關電源系統的幅頻和相頻曲線波特圖，通過優化設計環路補償電路，可以提高開關電源的穩定性和動態響應。

隨著電子設備小型化、智能化和大量數字電路的引入，對開關電源系統的穩定性及可靠性提出了更高的要求，而環路補償對電源系統的穩定性、可靠性起著決定作用。因此，必須了解電源系統環路的穩定性、相位裕度、增益裕度，有的放矢，通過明確的計算和仿真設計出的產品才是科學的、合理的、可靠的^[1]。近年來，推挽式開關電源以其工作效率高、輸出電流瞬態響應速度快、輸出電壓紋波系數小、驅動電路簡單等優點，在通信電源、工業電源、汽車電源等領域中得到了越來越廣泛的應用^[2]。本文介紹常用補償電路，并借助輔助軟件Mathcad 計算了推挽式開關電源電路的環路補償參數。本文仿真計算過程很詳細，具有非常好的參考價值和實用意義。

作者簡介：張立幫（1972－），男，湖北隨州人，工程師，主要從事電力電子及開關電源方面研究。Email: cfcy917@163.com。

1   Mathcad軟件介紹

Mathcad 是美國PTC公司的一套工程計算數學軟件，允許設計者利用詳盡的應用數學函數和動態、可感知單位計算，同時設計和記錄工程計算。Mathcad 能進行數值運算、符號運算和帶單位的運算，集計算（數值計算和符號計算）、圖形能力、編程和文字處理于一體，是工程技術人員不可多得的工具軟件。

2   環路補償介紹

根據奈奎斯特準則，開關電源開環傳遞函數的波特圖可用于評價開關電源閉環的穩定性。從開環波特圖看，系統穩定性有以下要求：①環路增益為1 時（ 0 dB ），該點的頻率稱為穿越頻率。環路在穿越頻率的相移小于 ?180°，或者說當相移達到 ?180° 時，環路增益小于 1，系統就是穩定的。②相移為 ?180° 時，環路增益與0 dB 的差稱為增益裕度。好的設計至少要確保10 ~ 15 dB 裕度，以處理由于加載條件、組件離散性、環境溫度等因素引起的增益變化[3]。③穿越頻率點的相位與 ?180° 之間的相位差稱為相位裕度。通常，絕對值最小為45° ，一個可靠的設計，其相位裕度約為70° ~ 90°，這樣可提供良好的穩定性和快速無振鈴瞬態響應^[3]。

如果環路不進行頻率補償，系統穩定裕量很小，實際電路很難穩定。通常有以下幾種典型電路補償方法。

1）滯后補償方法—PI

2）超前補償方法—PD

3）超前- 滯后補償方法1—PID

4）超前- 滯后補償方法2—PID

3   補償參數計算

推挽式開關電源的電路原理圖如圖4 所示，其主要技術指標為：輸入直流電壓27 V ，輸出直流電壓12 V ，輸出直流電流1 A ，工作頻率250 kHz 。

推挽電路屬于Buck 電路，采用電壓模式控制時，輸出濾波器會有一個二階極點，造成比較大的相位滯后。該極點的頻率大約是L4 和E4、E5 的諧振頻率2 kHz左右，環路補償的方法是設置一個在該極點附近的零點，利用零點的相位超前，抵消一部分二階極點的相位滯后。通常設置在比極點頻率高一些的頻率，保守一點，本案中選擇4 kHz 。該零點可由R15 和C9 實現，R15 的取值由電路的靜態工作點和中頻增益決定。實現超前補償后，為了提升直流增益，還要設置1 個零頻極點，由C8 實現。為了不影響中頻段和穿越頻率的相位，C8 與R16 形成的零點頻率要遠低于穿越頻率，一般低于濾波器諧振頻率，本案中保守一點，選擇零點頻率為200 Hz 。實現了超前和滯后補償，還有ESR 問題，本案中因選用瓷介電容，ESR 很小，可以不考慮ESR 問題。環路主要的零極點設置就完成了，剩下只考慮噪聲濾波就可以了，可由C10、C11 實現。為了不影響穿越頻率的相位，C10、C11（在信號上兩者是并聯關系）與R14 形成的極點頻率應遠離穿越頻率。假定穿越頻率是幾kHz ，那么濾波器極點頻率可以取幾十kHz ，本案中選擇50 kHz 。零極點配置完成后，可以看一下環路的波特圖，看看相位補償的效果，以及是否需要調整中頻。

在Mathcad 的工作單中, 輸入過程如下：在空白區中選擇適當的位置，單擊后，光標變成十字形；按鍵盤冒號鍵獲得賦值等于號“ : = ”，輸入變量參數。另外，為了閱讀方便，可同時加入文本文件。計算步驟如下：

1）定義傳遞函數中的變量參數

R18 : =1.1 kΩ R19 : = 5.6 kΩ R16 : = 2.4 kΩ R17 : =1 kΩ R15 : = 6.2 kΩ R14 : =1 kΩ

C8 : = 330 nF C9 : = 6800 pF C10 : = 3 300 pF CTR : = 2

f_s : = 250 kHz V_ref : = 5 V N_s: = 5 Np: = 5 V_in : = 27 V R_L : =12 Ω

E₄ : =10 μF E₅ : = 22 μF L₄ : = 200 μH

2）頻響函數

輸出采樣環節（Vo _ Id）：

光耦隔離環節（Id _Vc）：

PWM 調制環節（ Vc_D ）：

變換器主電路環節（D_Veq）：

輸出 LC濾波環節（Veq _Vo）：

所有環節連乘可得整個環路的開環傳遞函數:

3）作圖

設定起始頻率和終止頻率：

fmin : =10 Hz fmax : =100 kHz

設定描點作圖的描點數，這里選擇1 000 個點：

n : =1000

定義域變量： i : =1…n

按對數關系計算每個描點的頻率值:

幅頻曲線如圖6。

相頻曲線如圖7。

4）計算穿越頻率、相位裕度和增益裕度設穿越頻率為fc ，并根據波特圖給定其初值:

fc : = 8 kHz

令增益為1，解方程即可求得fc

已知

相位裕度（角度）：

設相角為?180°時的頻率點為fr ，并根據波特圖給定其初值fr : = 30 kHz

令開環傳遞函數的相角為?π , 解方程即可求解fr

已知

增益裕度dB ：

通過仿真計算，穿越頻率f_c = 5.936 kHz；相位裕度為54.697° ；增益裕度足夠，完全達到了設計要求。

實驗驗證

本文以上述設計參數實現的一臺推挽式開關電源為例，其測量波形與數據如圖8 所示。

從圖8 看出，動態響應速度很快，過沖小，振蕩少。當電子負載在滿載和半載之間躍變時，開關電源輸出動態響應較好，負載由輕變重時，輸出電壓跌落幅值為170 mV，恢復時間為600 μs，完全能夠滿足要求。

5   結束語

針對電壓型推挽式開關電源，通過Mathcad 分析系統的幅頻和相頻特性，優化設計補償電路，折中設計系統的穿越頻率和相位裕度，改善了推挽式開關電源的穩定性和動態性能。

參考文獻：

[1] 王云,韓立峰.開關電源環路補償計算及輔助軟件Mathcad的應用[J].鐵路通信信號工程技術（RSCE）,2013,10(5):100–102.

[2] 廖建興.推挽式脈寬調制器LM5030及其應用[J].電源世界,16(8):51–54.

[3] BASSO C.開關電源仿真與設計—基于SPICE [M].呂章德,譯.2版.北京:電子工業出版社,2015:196.

（本文來源于《電子產品世界》雜志2021年6月期）