圖像處理中的數學原理詳解10——理解泛函的概念

　　2.4 從泛函到變分法

　　作為數學分析的一個分支，變分法(Calculus of Variations)在物理學、經濟學以及信息技術等諸多領域都有著廣泛而重要的應用。變分法是研究依賴于某些未知函數的積分型泛函極值的普遍方法。換句話說，求泛函極值的方法就稱為是變分法。

　　2.4.1 理解泛函的概念

　　變分法是現代泛函分析理論的重要組成部分，但變分法卻是先于泛函理論建立的。因此，即使我們不過深地涉及泛函分析之相關內容，亦可展開對于變分法的學習。而在前面介紹的有關抽象空間的內容基礎之上來討論泛函的概念將是非常方便的。

　　需要說明的是，此處我們所討論的僅限于實數范圍內的泛函。

　　如果把上述泛函定義中的線性賦范空間局限于函數空間的話，那么也可以從另外一個角度來理解此處我們所要討論的泛函。

　　此處所討論的部分主要是古典變分法的內容。它所研究的主要問題可以歸結為：在適當的函數類中選擇一個函數使得類似于上述形式的積分取得最值。而解決這一問題又歸結為求解歐拉-拉格朗日方程。這看起來并非一個多么復雜的問題，而且方法也似乎也平常無奇。但依靠這種方法，我們驚異地發現原來自然世界中許多千差萬別的問題居然能夠使用統一的數學程序來求解，而且奇妙的變分原理還可以用來解釋無數的自然規律。在下一小節中，我們就將從最簡泛函開始導出歐拉-拉格朗日方程。