圖像處理中的數學原理詳解（Part8）——傅立葉變換的來龍去脈

　　千呼萬喚始出來，我們前面已經做了很多很多的準備，終于可以揭開傅立葉變換的面紗了。當然，在閱讀這篇文章之前，請務必保證你已經掌握了傅立葉級數的所有內容，可以參看

　　圖像處理中的數學原理詳解(Part4) ——傅立葉級數的概念1

　　http://www.104case.com/article/201703/344947.htm

　　圖像處理中的數學原理詳解(Part5) ——傅立葉級數的概念2

　　http://www.104case.com/article/201703/344948.htm

　　1.4.4 傅立葉變換的由來

　　這就是傅立葉變換及其反變換的表達式。一般情況下，若“傅立葉變換”一詞前不加任何限定語，則指的是“連續傅立葉變換”(連續函數的傅立葉變換)。連續傅立葉變換將頻率域的函數F(w) 表示為時間域的函數f(t)的積分形式。而其逆變換則是將時間域的函數f(t)表示為頻率域的復指數函數F(w)的積分。一般可稱函數f(t)為原函數，而稱函數F(w)為傅立葉變換的像函數，原函數和像函數構成一個傅立葉變換對。

　　若f(t)為偶函數，則F(w)將為純實數，并且同為偶函數(利用這一點便可以得到所謂的余弦變換);如果f(t)為奇函數，則F(w)將為純虛數，且同為奇函數;而對任意f(t)， F(w)與F(-w) 始終共軛，這意味著|F(w)| 與|F(-w)| 恒相等，即F(w)的絕對值是偶函數。

　　傅立葉變換針對的是非周期函數，或者說是周期為無窮大的函數。所以它是傅立葉級數的一個特例。當傅立葉級數的周期 l 趨于無窮時，自然就變成了上面的傅立葉變換。這種關系從二者的表達式中大概能看出點端倪，但也不是特別明顯，畢竟它們的表達形式差別仍然很大。如果不把傅立葉級數表達成復數形式，那就更加難看出二者之間的聯系了。傅立葉變換要求 f(t)在實數域 上絕對可積，其實可以理解成“傅立葉級數要求函數在一個周期內的積分必須收斂”。

　　傅立葉變換是信號處理中的重要工具。在信號處理中， f(t)表示的一個信號在時域上的分布情況，而F(w) 則表示一個信號在頻域(或變換域)上的分布情況。這是因為 F(w)的分布其實就代表了各角頻率波分量的分布。由于 F(w)是復數，|F(w)| 的分布正比地體現了各個角頻率波分量的振幅分布。F(w) 的輻角體現了各個角頻率波分量的相位分布。平時所說的“頻譜圖”，其實指的就是|F(w)|的函數圖像，它始終是偶函數(這個就是實數了，因為取的是|F(w)| 的幅值而不是 F(w)本身)。對于滿足傅立葉變換條件的非周期函數，他們的頻譜圖一般都是連續的;而對于周期函數，他們的頻譜則都是離散的點，只在整數倍角基頻( π/ l)的位置有非零的頻譜點存在。根據頻譜圖可以很容易判斷該原函數是周期函數還是非周期的(看頻譜圖是否連續就可以了)，而且對于周期函數，可以從頻譜圖讀出周期大小(相鄰的離散點之間的橫軸間距就是角基頻，這個角頻率對應的周期就是原函數的周期)。關于傅立葉變換在信號處理中更加深入的應用讀者有必要參閱相關資料，此處我們的介紹旨在幫助讀者搞清楚傅立葉變換的由來，并建立傅立葉變換與傅立葉級數之間的關系。