FFT 的物理意義

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去
做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用
多少點來做FFT。

現在圈圈就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。
一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣
定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就
不在此羅嗦了。

采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，
經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT
運算，通常N取2的整數次方。

假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT
之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率
點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始
信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT
的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。
第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個
點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也
可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示
采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率
依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果
采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數為1024點，則可以分辨到1Hz。
1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒
時間的信號并做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時
間的信號并做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率
分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和
采樣時間是倒數關系。
假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是
An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，
就可以計算出n點（n≠1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。
由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，
即小于采樣頻率一半的結果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面圈圈以一個實際的
信號來做說明。

假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、
相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、
相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。
我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。
按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個
點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號
有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、
第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？
我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。

圖1 FFT結果
從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有
比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值
都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。
接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，
結果如下：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；
50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的
幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢姡瑥念l譜分析出來
的幅度是正確的。
然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管
它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
計算75Hz信號的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。
根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達
式了，它就是我們開始提供的信號。

總結：假設采樣頻率為Fs，采樣點數為N，做FFT之后，某
一點n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N；該點的模值
除以N/2就是對應該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以
N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算
可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角
度值，范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒
的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，
這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成
分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的方法是
采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的0，使其長度
達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。
具體的頻率細分法可參考相關文獻。

[附錄：本測試數據使用的matlab程序]
close all; %先關閉所有圖片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %頻率F1信號的幅度
A2=1.5; %頻率F2信號的幅度
F1=50; %信號1頻率(Hz)
F2=75; %信號2頻率(Hz)
Fs=256; %采樣頻率(Hz)
P1=-30; %信號1相位(度)
P2=90; %信號相位(度)
N=256; %采樣點數
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采樣時刻

%信號
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%顯示原始信號
plot(S);
title(原始信號);

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT變換
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %顯示原始的FFT模值結果
title(FFT 模值);

figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %換算成實際的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %顯示換算后的FFT模值結果
title(幅度-頻率曲線圖);

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %計算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %換算為角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %顯示相位圖

原文 地址：http://computer00.21ic.org/user1/2198/archives/2008/48202.html