FFT的前世今生（二）

圖2 捕獲100ns的信號，頻率分辨率是10MHz

圖中的正弦波頻率為500MHz，時基設置為10ns/div，采樣率為20GS/s，時域采樣點數為2000points，使用Power2算法截取2000點中的1024點(210)，如圖中的藍框所示(注意是從信號的中間部分截取)，因此截取的時間窗口為1024×20ps=51.2ns，是500MHz信號的25.6個周期，由于截取的周期非整數倍，不可避免會產生頻譜泄露，如圖中FFT的旁瓣所示，此時的頻率分辨率可以達到19.35125MHz。

如果采用另外一種FFT算法LeastPrime，可以將整個示波器時域采集的采樣點進行FFT運算，LeastPrime算法計算的FFT點數規模是2N+5K，因此2000點=24+53，不需要截取原始數據就可以運算，但是代價是計算的速度可能會慢一些(盡管我們可能覺察不到)，頻率分辨率可以提高到10MHz。

使用Power2算法也可以不采用截取原始波形的方式，此時我們可以選擇Zero Fill(補零)的方式，增加采樣點數。比如，在2000點中補48個點，2048=211，如圖3所示：

圖3 補零的放出提高頻率分辨率

這48個點補的方式是頭尾各補一半，但是有可能補的不是0，頭24個點與第一個采樣點值相同，尾24個點與最后一個采樣點值相同(所以稱之為Zero Fill是不完全準確的)。這里我們推薦Zero Fill的方法只在分析沖擊信號FFT頻譜的情況下使用。

補零法雖然能增加頻譜圖的視在分辨率，但是由于補的都是無效數據，所以對于頻率分辨率真正的改善沒有幫助，但是補零有它的好處：1.補零后，其實是對FFT結果做了插值，克服“柵欄”效應，使譜外觀平滑化;我把“柵欄”效應形象理解為，就像站在柵欄旁邊透過柵欄看外面風景，肯定有被柵欄擋住比較多風景，此時就可能漏掉較大頻域分量，但是補零以后，相當于你站遠了，改變了柵欄密度，風景就看的越來越清楚了。2.由于對時域數據的截短必然造成頻譜泄露，因此在頻譜中可能出現難以辨認的譜峰，補零在一定程度上能消除這種現象。

除此之外，很多人都有這樣的誤區：認為通過增加待分析的計算點數而不是增加采樣時間就可以使FFT之后的頻譜更加“精細”(頻率分辨率更高)。這樣的誤解一般來自于示波器的用戶，因為當示波器采樣點比較少時，FFT的計算出來的頻譜圖也會很少，頻譜看起來非常粗糙。這時工程師會非常有沖動把時域的采樣點增多(用示波器上的插值算法很容易實現)，但是如果采集信號的時間長度是不變的，工程師會發現FFT計算之后的頻譜并沒有顯得更加“精細”，頻率分辨率并沒有任何改善。實際上使用插值或者增加采樣率的方式僅僅是展寬了FFT之后的頻譜帶寬。如下圖4所示，

圖4 插值方式并不能改變頻率分辨率

左上方使用了較少的時域采樣點C1，右上方使用了較高的采樣率C2，但是采樣時間是相同的。左下是對C1進行FFT之后的頻譜F1，右中是對C2進行FFT之后的頻譜F2，右下是對F2相同頻段進行了放大。可以看到F2比F1的頻寬增加了，但是對F1頻段放大之后的頻譜和F1一樣，沒有任何頻率分辨率的改善。

由此我們可以得出結論，對C1進行插值后，額外的采樣點僅僅存在于較高頻段，會展寬頻譜的帶寬，但是插值方式對于增加我們感興趣頻段的頻譜分辨率沒有任何幫助。

那么如果我們只對對FFT之后的頻譜進行插值效果如何呢?如下圖5所示：

圖5 頻域插值方式是頻譜圖看起來更密

圖中展示了對頻域插值之后的效果，并沒有使頻譜看起來更“窄”(畢竟插值出來的點都是假點)，但是我們注意到，頻域插值可以使頻譜的測量更加精確。圖中正弦波的頻率是955MHz，插值之后頻譜的Peak頻率讀數P2是955MHz，插值之前P1的讀數為952MHz。

總之，FFT是進行信號頻域分析的最廣泛使用的標準化方法，也是現代數字示波器中標配的數學運算函數，我們更多了解FFT應用的細節，能更加有效地利用好這個工具，從FFT中得到更多有價值的信息。