預測和負延遲濾波器：你應該知道的五件事

圖3：某些數據(藍色)，巴特沃斯響應(粉紅色)和補償(綠色)

我們不必使用相同的函數H來構造補償濾波器。如果兩個傳遞函數HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值，則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲。

特別是，如果HB是T值的純時間延遲(相等于HA的DC組延遲)，我們可以得到FIR實現的漂亮簡化。就T恰好等于N個采樣周期的傳遞函數來說，我們得到H1 = HA(2-Z^- N)，幾乎所有的數字濾波器結構都能很容易地實現它，因為Z圖的

這些負值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對稱FIR濾波器總能滿足該條件;如果多做點工作，它就可以適應不對稱的情況，其中N不是整數。

因此，無論我們選擇工作在S域或Z域，我們都可以構建零DC組延時的低通傳遞函數。但我們沒必要在零組延時停止;雖然我們可以很容易地使其為負，我們也在此進入預測域。在采樣系統中，有一個其輸出是輸入信號在下一個采樣時刻可以預測的濾波器，會很方便。換句話說，一個濾波器的DC組延遲是負一個采樣周期。在上面提到的FIR的情況，它簡單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1)，而不是2-z^-N的補償函數。

現在，如果在有能量進入濾波器之前，它就實際輸出了一些能量，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負延遲的形式出現在輸出。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀察家對其有心理上的期盼，則無論他們怎么想

——所以當組延遲為負時，就沒有因果關系可去違反。

這種濾波器的表現如何?

這些功能有個有用的屬性。顯然，對常數(即DC)輸入，輸出電壓等于輸入，與普通低通濾波器的一樣。但現在當輸入以恒定速率變化時，輸出也可以等于輸入。與“標準”低通傳輸函數不同，在階梯變化激勵下，濾波器的輸出和輸入信號間沒有“滯后”。我們設計另外一個例子，并更加仔細地檢驗其屬性。

這次，我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個對稱的9階FIR濾波器，(因此有4個采樣周期的恒定組延遲)。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線頻而設計的。我會解釋理由，且在以后的Filter Wizard中，明確如何設計這樣一款“撥空號(dial-a-null)”濾波器，但眼下，我們只是看一看。對于我們的HB，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個采樣周期的簡單延遲。這使2-HB看起來像一個系數為(2，0，0，0，-1)的5階FIR濾波器。級聯的HAHB做成一款單一FIR濾波器，將兩個Z平面序列卷積在一起，獲得一個13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時如圖4所示，這次是用LTspice仿真的。圖中，有相當奇怪的頻率和時間，是因為這個濾波器是按工作在220個采樣/每秒設計的。再次，我們得到一個凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應。

現在，我們可以進入預測領域。如果我們把HB‘的延遲設為5個采樣周期而不是4個，然后重新計算該級聯(現在是14個階遞)，我們得到的HAHB如圖4(綠色線段)所示。與期望的一樣，現在，你可以看到DC組延遲是負4.5ms左右。

圖4：FIR例子，正延遲和負一個采樣周期的情況

那么這里回報是什么?好，我們看看時間域的行為。三個濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應如圖5所示。

圖5：無補償和有補償FIR濾波器對三角波激勵的響應

由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見。如果你試圖檢測信號通過某些極限點的哪個點，你會清楚地體驗到在檢測響應時的延遲。HAHB線段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對于一般低通濾波器來說極為重要的一個事實：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數值上等于DC組延遲值。因此，如果我們補償濾波器的設計，使DC組延遲為零，我們就得以消除滯后。當然，代價總是有的，我們可以看到，在輸入波形斜坡發生突變后，這種濾波器有些疲于應付。

如果你放大HAHB曲線，你會看到，每個新采樣都正好在輸入斜坡曲線上。預測版本HAHB的輸出值移動到斜坡將在下一個采樣周期開始時該有的那個值，我猜，會與我們預測的一樣。

這種濾波器可在哪里派上用場?

有許多工業監測應用，其“正常”行為意味著信號穩定(但嘈雜，信號可以是溫度、壓力、物理結構內的應力等)。 所謂“異常”行為，是指一些被測的系統參數變得不可控，并不按規矩“出牌”。

在反饋路徑需要濾波的控制系統，這種零延遲類型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時，可以顯著增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習慣于操控系統傳遞函數的零以強迫實施所需的回路行為，這正是我們在此以更具分析的意蘊所做的。我們的傳遞函數算法生成取消極點DC組延遲特性的零。我已經說過，不是嗎!

這種零或負延遲濾波器通常還用來處理非電子信號。例如，如果一種金融工具(如股票)的價格被認為呈斜坡線性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然，如圖5所示，當三角形改變方向時，你可以從濾波器的行為進行推斷，但一段時間內，這種濾波器會給出極不準確的結果，直到價格行為再次按平穩的斜坡變化。圖3的神秘數據，事實上是個股票價值序列。

這些金融工具的交易員實際上對其價格數據序列使用了一些相當復雜的濾波流程。我常常被告知，若電子市場股價暴跌，在金融部門，濾波器向導肯定會有份工作，用來從巨大的價格數據集中梳理出有趣信號。但讓我們繞過暗礁險灘，戴上安全的堅固工程的護身符，并重回正軌!

諸如此類的延遲操控可以大有作為的一個工程應用是補償數字D類放大器的電源電壓變化。對于給定的分度：間隙因數由輸出開關輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即，它沒有電源抑制。當人們似乎不想在消費類音頻設備的電源上下大本錢的時候，這并非好事。