一種基于DSP的軟件鎖相環模型與實現
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盡管軟件鎖相環采用的基本算法思想與模擬鎖相環和數字鎖相環相比并沒有太大變化，然而其實現方式卻完全不同。本文將建立軟件鎖相環的Z 域模型，分析軟件鎖相環中的延時估計、捕獲速度及多速率條件下的軟件鎖相環模型問題［1］。
1軟件鎖相環的基本模型
在模擬鎖相環的基礎上，利用數字、模擬系統彼此之間的聯系，以二階二型鎖相環為例建立軟件鎖相環的Z 域模型。文獻［2］詳細給出了鎖相環的基本模型和原理。
如果將鎖相環的基本部件采用軟件編程的形式實現，就可以得到軟件鎖相環的基本組成，如圖1所示。
首先從模擬鎖相環的S域模型出發得到軟件鎖相環的Z 域模型（二階二型模擬鎖相環的S域模型請參閱文獻［2］）。由于雙線性變換是聯系模擬系統與數字系統的一個重要方法，具有轉換簡單且表達式清晰明了的特點，因此本文選擇雙線性變換法作為模擬鎖相環與軟件鎖相環之間的轉換基礎。
式(1)是雙線性變換法的復頻域表達式：
其中：T是聯系數字系統與模擬系統的采樣時間間隔，1/T表示采樣頻率。根據該轉換關系，對S域模型各部分對應的數字復頻域表達式進行轉換，可以得到如圖2所示的復頻域模型。
在實際應用中，二階線性系統常采用阻尼因子ξ、無阻尼振蕩頻率ωn描述。在二階二型鎖相環中，τ1，τ2 ，K 與ξ，ωn之間的對應關系如下：
在式(1)和式(2)的基礎上對圖2進行等效變換，可以得到軟件鎖相環的另一個線性相位Z域模型，如圖3所示。
在模型Ⅰ中，參數τ1，τ2和K與實現電路功能的電阻、電容、壓控振蕩器密切相關。而實現軟件鎖相功能的卻是乘法器、加法器與寄存器，因此采用模型Ⅱ表征軟件鎖相環線性相位Z域模型顯得更有實際意義。
2軟件鎖相環的數學模型
數字鑒相器的Z域模型如下：
實現數字鑒相器的方法之一就是借助信號的正交分解，圖4是該方法的原理框圖。
其中：LPF表示低通濾波，A是低通濾波器帶來的常數增益。因此鑒相器的輸出：
經過反Z變換得到數字環路濾波器的時域表達式為：
通過反Z變換得到數控振蕩器的時域表達式：
變量uc(nT)數值較小且變化不會太快,因此式(14)成立：
綜合式(11)、式 (12)和式(13)，得到NCO輸出信號的表達式：
如果以數字頻率描述數控振蕩器，則稱其數字中心頻率為ω0T，數字偏置頻率為ωn2
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