基于狀態反饋控制的倒立擺系統分析和設計

2 數學模型的建立
因為倒立擺系統本身是一個自不穩定的系統，因此實驗建模存在一定的困難。然而，經過謹慎的假設，忽略掉一些次要因素，就能使倒立擺系統成為一個典型的運動的剛體系統，使之在慣性坐標系內應用經典力學理論就能建立系統的動力學方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模型。
2．1 微分方程的推導
在忽略空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖l所示。

假設M為小車質量；m為擺桿質量；b為小車摩擦系數；
l為擺桿轉動軸心到桿質心的長度；I為擺桿慣量：F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；
θ擺桿與垂直向下方向的夾角圖2示出系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量腳。值得注意的是：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向為矢量正方向。

分析小車水平方向所受的合力，可得方程為：
MX=F―bi―N
由擺桿水平方向的受力進行分析，可得：

式(2)代入式(1)，可得系統的第1個運動方程為：

為了推出系統的第2個運動方程，對擺桿垂直方向上的合力進行分析，由此可得方程為：

方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=-cosφ，sinφ=-sinθ，故等式前有負號。合并式(4)和式(5)，簡化得到第2個運動方程：

設θ=π+φ(φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位rad)，假設φ與1相比很小，即φ1，則可以進行近似

2．2 狀態空間方程
由方程組(8)對x，φ解代數方程，整理后得：

2．3 實際系統模型
實際系統模型參數：M=1．096 Kg；m=0．109 Kg；b=0．1 N／m/s；l=0．25 m；I=0．0034 kg?m?m；采樣頻率T=0．005 s。
以小車加速度作為輸入的系統狀態方程：

3 狀態空間極點配置
對于直線一級倒立擺的極點配置轉化來說：要按上述系統設計控制器，則要求具有較短，約3 s的調整時間和合適的阻尼比ζ=0．5。要使系統具備能控、能觀且易驗證。步驟為：計算特征值。根據要求，設調整時間為3 s，并留有一定的余量，選擇期望的閉環極點：是一對具有ζ=
0．5，ωn=4的主導閉環極點。μ1，μ2位于主導閉環極點的左邊，其影響較小，因此期望的特征根方程為：

4 仿真驗證
建立直線一級倒立擺的仿真模型如圖3所示。“GLlIPState―Space”為直線一級倒立擺的狀態空間模型。雙擊圖3中的“Poles Control”模塊，打開圖4中的設置窗口。

把計算得到的K值輸入到上面的窗口?？傻脠D4所示的仿真運行結果。

由圖5可見，在存在干擾的情況下，系統在3 s內基本上可以恢復到新的平衡位置。

5 實時控制
將仿真得到的K參數輸入到實際系統的控制模塊中，可得圖6所示實時控制曲線。在給定倒立擺干擾后，系統響應圖7所示。

6 結語
采用極點配置法設計的用于直線型一級倒立擺系統的控制器，可使系統在很小的振動范圍內保持平衡，小車振動幅值約為4×10-3m，擺桿振動幅值約0．05 rad，系統穩定時間約3 s。