開槽波導3次諧波回旋行波放大管非線性理論與數值模擬

　　當角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數kc的值可由式(10)通過數值求解方法求得［6，8，9］.

三、自洽非線性理論
　　在熱腔中，高頻場沿軸向呈緩變分布狀況，其對橫坐標(r,φ)的分布函數與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區中的熱腔高頻電場分量(TE波)表達式.

　(11)
　(12)
Ez=0　(13)

　　上述各式中，Cmn為電場歸一化系數，f(z)為一復函數，代表高頻場沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

　　以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
　　從洛倫茲公式
出發［8］，可推得電子在高頻場(E,B)和直流磁場(B0)作用下的運動方程.每個電子有6個運動參量方程，這里僅給出了速度分量及動量空間角3個運動參量方程.

　(15)
　(16)
　(17)

　　以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質量和相對論因子，φ為動量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.
　　從有源麥克斯韋方程出發，經過一系列復雜的推導并對電流進行離散化后得到非線性注波互作用場方程為

　(18)

上式中，P為在一個高頻場周期內所取的電子注批數，M為考慮電子注厚度因數而將電子注化分的圈數，N為每圈上所取的宏電子數，S為諧波次數.〈…〉表示對初始速度分布函數為g0(v⊥,vz)的速度空間進行平均.設電子注為單能電子注，速度零散主要來自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態分布規律來處理速度零散，即初始速度分布函數為

式中K為歸一化常數,△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數．
邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)
(20)

式中f(0)為輸入高頻場電場幅值.
　　方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個宏電子，則一共有6NT+2個一階非線性微分方程，結合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫塔法對注波互作用進行數值計算，計算結果在下部分內容中給出并討論.