粒子濾波到底是怎么得到的？

一、前言

粒子濾波（particle filter）是一種常見(jiàn)的濾波算法，廣泛應(yīng)用于目標(biāo)跟蹤、移動(dòng)機(jī)器人等領(lǐng)域。網(wǎng)絡(luò)上有不少關(guān)于粒子濾波的資料，但大多是直接給出了粒子濾波的相關(guān)公式和證明，或較為直觀上的解釋。作者在學(xué)習(xí)粒子濾波的過(guò)程中對(duì)一些概念和操作時(shí)常感到突兀，后來(lái)發(fā)現(xiàn)想要完整了解粒子濾波，需要首先了解前因，逐漸深入才能理解粒子濾波，而不是直接學(xué)習(xí)粒子濾波這個(gè)方法。

本文將側(cè)重從“粒子濾波是怎么來(lái)的”這個(gè)問(wèn)題介紹粒子濾波。限于篇幅與易懂性，對(duì)一些概念并沒(méi)有展開(kāi)介紹，讀者在了解基本思路后可以根據(jù)給出的資料深入學(xué)習(xí)。本文包含了作者自己不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫馀c闡述，如有疏漏，望批評(píng)指正。

二、對(duì)“濾波”的一些介紹

2.1 何為“濾波”？

貝葉斯濾波、卡爾曼濾波、粒子濾波……種種這些濾波方法，都涉及到了“濾波”這個(gè)詞。那么到底什么是濾波，不同的領(lǐng)域有不同的定義。比如在信號(hào)系統(tǒng)領(lǐng)域，濾波是指將信號(hào)中特定波段的頻率濾除的操作。而在移動(dòng)機(jī)器人領(lǐng)域，我暫時(shí)沒(méi)有看到較為嚴(yán)格的定義。我認(rèn)為可以姑且理解為：通過(guò)不斷地觀測(cè)，使得對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)變得更加準(zhǔn)確。

2.2 貝葉斯濾波

卡爾曼濾波與粒子濾波都是基于貝葉斯濾波框架下的濾波算法。講粒子濾波便不得不提貝葉斯濾波。貝葉斯濾波的基本思想是根據(jù)上一時(shí)刻的狀態(tài)對(duì)當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并根據(jù)此時(shí)的觀測(cè)進(jìn)行更新。基本算法是：

（圖片來(lái)源：《概率機(jī)器人》）

可以看出，在預(yù)測(cè)部分需要求一個(gè)積分，而這個(gè)積分往往很難求。所以顯有方法可以直接利用原始的貝葉斯進(jìn)行處理。

2.3 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波也是非常龐大的一塊內(nèi)容，這里不展開(kāi)介紹。只在這里說(shuō)明，卡爾曼濾波是貝葉斯濾波在線性高斯系統(tǒng)下的一種濾波算法。而對(duì)于非線性系統(tǒng)，則衍生出來(lái)了擴(kuò)展卡爾曼濾波。同時(shí)指出，無(wú)論是卡爾曼還是擴(kuò)展卡爾曼濾波，都是參數(shù)化的濾波方法，對(duì)于無(wú)法用參數(shù)化進(jìn)行表示的，則采用粒子濾波。粒子濾波是一種無(wú)參的濾波算法。

三、積分計(jì)算：從蒙特卡洛說(shuō)起

3.1 分段近似法求積分

3.2 蒙特卡洛采樣求積分

（此處略過(guò)蒙特卡洛基本原理）

3.2.1 簡(jiǎn)單的均勻采樣

求積分和求期望是相同的。假設(shè)我們對(duì)一個(gè)分布求取積分，采用最簡(jiǎn)單的采樣方式——均勻采樣。我們求取在x滿足均勻分布u(x)時(shí)，f(x)在[a,b]的期望I。按照分布u(x)進(jìn)行N次隨機(jī)采樣：

可以發(fā)現(xiàn)最后一項(xiàng)對(duì)f(x)的積分，就是x的期望。所以我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們按照均勻分布u(x)對(duì)x進(jìn)行大量采樣，計(jì)算對(duì)應(yīng)的f(x)的平均值，就是f(x)的積分。

3.2.2 任意分布的采樣

下面我們研究，如果不是按照均勻分布u(x)采樣，而是任意分布p(x)進(jìn)行采樣，結(jié)果如何。此時(shí)

依舊與原始的積分相同。所以我們得出了重要的結(jié)論：在蒙特卡洛時(shí)，我們可以按照任意分布進(jìn)行采樣，再計(jì)算對(duì)應(yīng)f(x)的積分。

這一點(diǎn)很好理解，如果我們選擇的分布p(x)就是真實(shí)的分布，那么我們從p(x)進(jìn)行采樣，就和直接從真實(shí)分布進(jìn)行采樣是一樣的，積分結(jié)果當(dāng)然是沒(méi)有誤差的。這提醒我們，在選取p(x)分布時(shí)要盡可能的與實(shí)際分布接近，從而極大程度的降低方差，從而減少需要采樣的數(shù)量。

四、重要性采樣與序列重要性采樣

4.1 重要性采樣(Importance Sampling, IS)

4.2 序列重要性采樣(Sequential Importance Sampling, SIS)

4.3 重采樣(Resampling)

在實(shí)際過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)利用權(quán)重更新公式進(jìn)行更新時(shí)，在幾次迭代之后，權(quán)重的分布會(huì)極其不均勻，出現(xiàn)個(gè)別粒子權(quán)重很大接近于1，而其他的都接近于0的情況。這時(shí)候采用了一種“重采樣”策略，即每次權(quán)重更新之后，根據(jù)當(dāng)前權(quán)重對(duì)所有粒子進(jìn)行重采樣，之后將所有權(quán)重設(shè)定為相同。這樣我們用粒子的數(shù)量代替了粒子的權(quán)重，避免了權(quán)重的不均勻。

5. 粒子濾波(Particle Filter)

此時(shí)對(duì)權(quán)重更新公式進(jìn)行變形（在不產(chǎn)生歧義情況下部分內(nèi)容用點(diǎn)省略）：

6. 總結(jié)

本文首先從濾波問(wèn)題說(shuō)起，指出了貝葉斯濾波框架下積分很難求的問(wèn)題。由此引出蒙特卡洛方法。之后為了降低誤差、減少運(yùn)算量和避免權(quán)重集中，對(duì)應(yīng)出現(xiàn)了重要性采樣、序列重要性采樣與重采樣，順理成章的得出了粒子濾波的數(shù)學(xué)原理，之后給出了對(duì)應(yīng)的物理模型。最后給出了簡(jiǎn)單的粒子濾波的完整算法。

作者希望通過(guò)本文，能夠使得大家對(duì)粒子濾波的學(xué)習(xí)有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)，知道粒子濾波之前有什么，而不是上來(lái)就對(duì)著資料直接學(xué)習(xí)粒子濾波本身。網(wǎng)絡(luò)上的學(xué)習(xí)資料甚多，在這里只推薦一個(gè)：徐亦達(dá)機(jī)器學(xué)習(xí)Particle Filter：https://www.bilibili.com/video/BV1xW411N7f1?p=1。耐心看完，會(huì)有收獲。