【專】微觀電流——擴散電流

一、電流與速度

了解完電場作用下的漂移電流，接下來我們講解熱運動導致的擴散電流。

熱運動的最小自由空間為一個平均自由程，即一個粒子通過熱運動與相鄰粒子相碰撞的平均距離。假設在溫度T下，半導體中電子的平均自由程為l，熱運動平均速度為v_th，熱運動通過一個平均自由程所需時間為。

在一維情況下，假設沿x方向的電子濃度分布為n(x)。如圖所示“0”點所示位置，其距離最近的鄰近電子分別位于l和-l處，相應的電子濃度分別表示為n(l)和n(-l)。根據平均自由程的定義不難理解，最先可能擴散到“0”位置的電子就處于這兩個位置。

根據電流密度定義，要獲知“0”點的電流，就要計算左右兩側n(l)和n(-l)分別在t時間內通過“0”點的電荷總量。

以-l位置的n(-l)個電子為例，在一維狀況下，這些電子熱運動往左或者往右的概率相同，均為。所以，在單位時間內通過“0”點的電荷數量為，相應產生電流為：

（設電流以x方向為正，添加“-”的原因是電子電流方向與運動方向相反）同理，對于l位置的n(l)個電子在“0”點產生的電流為：

n(l) 和n(-l)在“0”點產生的總電流為：

這樣，我們就能得到電流J與速度v之間的關系。

二、電流、速度和濃度梯度

進一步地，我們想要梳理清楚電流、速度和濃度梯度之間的關系。

一維濃度梯度的表達方式為濃度n(x)在x方向上的微分，即。根據J_n(0)的表達式，只需梳理[n(l)-n(-l)]與之間的關系。

這里可以用到Taylor展開，簡單解釋如下（想直接看推導結果的伙伴可以跳到結果）：

如果一個函數f(x)在區間具有n階導數fⁿ(x)，且已知在點的值f(x₀)，那么f(x)可以展開為多項式之和：

其中，Rn(x)是余項，即誤差項，是(x-x₀)ⁿ的高階無窮小。具體推導這里不做贅述，簡言之就是可以將任一可求導的函數展開為一個多項式之和，基本規律是x距離x₀越近，那么可取的多項式指數也可以越小，誤差也越小（極限情況就是取x=x₀,上式就變成f(x)f(x₀)。

回到擴散電流的推導，因為平均自由程顯然是一個微小量（通常為數埃到數百埃，顯然半導體中雜質、缺陷越小，平均自由程越大），利用Taylor展開式，可以將n(l)在x=0處展開為：

在假設l是一個足夠小的量的情況下，忽略上式中二次方及以上的多項表達式以及誤差項，近似得到：

同理：

由此我們得到[n(l)-n(-l)]與之間的關系。

結合前面的電流密度推結論，從而得到：

擴展到所有x，有：

定義電子擴散系數，就得到大家常見的電子擴散電流方程：

同理，可得到空穴擴散電流方程：

從而，擴散總電流為：

注意：

1.此處在擴散電流的表達式中采用了“約等于”的符號，而絕大多數文獻中是直接為等號。從推導過程中，大家容易發現Taylor展開中是作了近似處理。需要知道的是：當半導體晶體質量越高、摻雜濃度越低，這個表達式的精確度也就越差，就需要引入更高階的多項式來減小誤差。

2.擴散電流中的速度是V_th一個統計值，也就是說與漂移電流不同的是，擴散電流等式不適用于單個電荷等不具有統計意義的對象。

至此，我們已分別推導得到漂移電流和擴散電流的表達式，那么半導體中的電荷移動所產生的總電流即為兩者之和，即：

請注意，自此之后，對于上式的使用，我們不再采用“”，也就是默認平均自由程足夠小，Taylor展開的一階表達式精度已經足夠。

其中，， 分別為電子和空穴在電場作用下的漂移速度；，分別為電子和空穴在存在濃度梯度情況下的擴散速度。

由此，我們達到了本章開篇所述之目的——“梳理清楚了速度與濃度梯度以及電場的關系，自然也就梳理楚了擴散運動以及漂移運動分別形成的電流，而兩者之和就是總的電流”。

文末總結

1、在一維情況下，電流J與速度v之間的關系：

2、電流J、速v和濃度梯度之間的關系：

3、半導體中的電荷移動所產生的總電流：